Ce que dit le wattmètre d'un compresseur

Le compresseur d'un garage est branché sur le secteur, $230 V$ , $50 Hz$ , à travers un wattmètre numérique, qui affiche la tension efficace $U = 230 V$ , le courant efficace $I = 8, 4 A$ et la puissance moyenne $P = 1380 W$ . Un essai à la pince montre que le courant est en retard sur la tension.

1) Calculer le facteur de puissance et le déphasage. Pourquoi ne peut-on pas obtenir $P$ en multipliant les lectures de $U$ et de $I$ ?

2) Modéliser le compresseur par une résistance $R_{s}$ en série avec une inductance $L_{s}$ : calculer $R_{s}$ et $L_{s}$ à partir des seules mesures.

3) Même question pour un modèle parallèle $R_{p}$ , $L_{p}$ . Les deux modèles sont-ils contradictoires ?

4) Le fournisseur demande un facteur de puissance d'au moins $0, 93$ pour l'atelier. Le compresseur le respecte-t-il ? Quel courant appellerait-il, à puissance égale, s'il le respectait ?

La stratégie. Le wattmètre mesure la moyenne de $u (t) i (t)$ ; le rapport à $U I$ donne $cos φ$ ; le signe vient de l'essai. Puis chaque modèle se tire d'une formule du cours : $P = Re (Z) I^{2}$ en série, $P = Re (Y) U^{2}$ en parallèle.

1) Facteur de puissance. La puissance apparente $S = U I = 230 \times 8, 4 = 1932 V A$ , donc $cos φ = \frac{P}{U I} = \frac{1 380}{1 932} = 0, 714, φ = + 44, 4^{\circ},$ positif puisque le courant est en retard (charge inductive). Le produit $U I$ n'est pas la puissance consommée : $u$ et $i$ ne sont pas en phase, et le wattmètre calcule la moyenne du produit instantané, ce qu'aucun voltmètre ni ampèremètre ne peut faire séparément.

2) Modèle série. Même courant dans $R_{s}$ et $L_{s}$ : $P = R_{s} I^{2}$ , donc $R_{s} = \frac{P}{I ^{2}} = \frac{1 380}{8 , 4 ^{2}} = 19, 6 Ω, ∣ Z ∣ = \frac{U}{I} = 27, 4 Ω, X_{s} = 27, 4^{2} - 19, 6^{2} = 19, 2 Ω,$ et $L_{s} = X_{s} / ω = 61 mH$ . Contrôle : $R_{s} / ∣ Z ∣ = 0, 714 = cos φ$ .

3) Modèle parallèle. Même tension sur $R_{p}$ et $L_{p}$ : $P = U^{2} / R_{p}$ , donc $R_{p} = 23 0^{2} /1 380 = 38, 3 Ω$ . La composante du courant en quadrature, $I sin φ = 8, 4 \times 0, 700 = 5, 88 A$ , traverse $L_{p}$ seule : $L_{p} ω = U /5, 88 = 39, 1 Ω$ , $L_{p} = 125 mH$ . Les deux modèles ne se contredisent pas : ils ont la même impédance à $50 Hz$ (on vérifie $Y = 1/ R_{p} + 1/ (j L_{p} ω) = 1/ (R_{s} + j L_{s} ω)$ ) ; ils diffèrent à une autre fréquence, et la mesure à une seule fréquence ne peut pas les départager.

4) L'exigence. $0, 714 < 0, 93$ : le compresseur ne la respecte pas. À puissance égale et sous $cos φ = 0, 93$ , il n'appellerait que $I^{'} = \frac{P}{U \times 0 , 93} = \frac{1 380}{230 \times 0 , 93} = 6, 45 A au lieu de 8, 4 A .$ La composante active du courant, $I cos φ = P / U = 6, 00 A$ , est la même dans les deux cas ; seule change la composante en quadrature. On verra comment la réduire.

Ce que l'exercice installe. Le wattmètre mesure $⟨ u i ⟩$ , que le voltmètre et l'ampèremètre ne donnent pas ; $cos φ = P / (U I)$ et son signe par l'essai ; un modèle série ou parallèle se tire de $P = Re (Z) I^{2}$ ou $P = Re (Y) U^{2}$ , et les deux sont équivalents à la fréquence de mesure. Le courant se décompose en une composante active $P / U$ et une composante en quadrature.

Énoncé

Corrigé

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