Le disjoncteur de l'atelier saute à 8 kW

Un atelier alimenté en monophasé sous $U = 230 V$ est protégé par un disjoncteur de $40 A$ . On y branche en parallèle :

un radiateur, $P_{1} = 2 kW$ , $cos φ_{1} = 1$ ;
un groupe de moteurs, $P_{2} = 5 kW$ , $cos φ_{2} = 0, 80$ , inductif ;
un éclairage à tubes fluorescents avec ballasts, $P_{3} = 1 kW$ , $cos φ_{3} = 0, 50$ , inductif.

1) Le responsable raisonne ainsi : « $8 kW$ sous $230 V$ , cela fait $34, 8 A$ : le disjoncteur tient. » Qu'oublie-t-il ?

2) Pour chaque charge, calculer la composante active et la composante en quadrature du courant. Construire le diagramme de Fresnel des courants et en déduire le courant de ligne $I$ et le facteur de puissance global.

3) Le disjoncteur tient-il ? Quelle puissance maximale l'atelier pourrait-il consommer avec ce facteur de puissance ? Et avec un facteur de puissance unité ?

La stratégie. Les charges sont en parallèle sous la même tension : on additionne leurs courants complexes. On projette chacun sur la tension (composante active) et sur la quadrature.

1) L'oubli. $34, 8 A$ est le courant d'une installation de facteur de puissance unité. Les puissances moyennes s'additionnent, mais les courants efficaces ne s'additionnent pas comme des nombres : ce sont des vecteurs de Fresnel, déphasés différemment.

2) Composition des courants. Pour une charge $k$ , la composante active vaut $I_{k} cos φ_{k} = P_{k} / U$ et la composante en quadrature (en retard) $I_{k} sin φ_{k} = (P_{k} / U) tan φ_{k}$ , avec $tan φ_{2} = 0, 75$ et $tan φ_{3} = 3 = 1, 732$ :

charge	$P_{k} / U$ (A)	$(P_{k} / U) tan φ_{k}$ (A)
radiateur	$8, 70$	$0$
moteurs	$21, 74$	$16, 30$
éclairage	$4, 35$	$7, 53$
total	$34, 78$	$23, 84$

Le courant de ligne est l'hypoténuse : $I = 34, 7 8^{2} + 23, 8 4^{2} = 42, 2 A, cos φ = \frac{34 , 78}{42 , 17} = 0, 825.$

3) Le disjoncteur. $42, 2 A > 40 A$ : il déclenche, alors que la puissance consommée, $8 kW$ , est inférieure à $U I_{m a x} = 230 \times 40 = 9, 2 kW$ . Avec $cos φ = 0, 825$ , la puissance maximale admissible est $U I_{m a x} cos φ = 7, 59 kW$ ; avec un facteur de puissance unité, ce serait $9, 2 kW$ . Un câble et un disjoncteur se dimensionnent sur $U I$ , la puissance apparente, et non sur $P$ .

Ce que l'exercice installe. En parallèle, on additionne des courants de Fresnel, en séparant composantes actives (qui s'ajoutent comme les puissances) et composantes en quadrature (qui s'ajoutent avec leur signe) ; le facteur de puissance global est le rapport des composantes ; et la règle de dimensionnement : c'est le courant, donc $U I$ , qui fait déclencher.

Énoncé

Corrigé

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