conversion de puissance (PSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Le four à induction et sa batterie de condensateurs

Puissance électrique en régime sinusoïdal · E. Puissance moyenne absorbée par une impédance · niveau 2

Énoncé

Un four à induction de fonderie chauffe un creuset de métal par les courants induits d'un inducteur. Vu de ses bornes, l'inducteur chargé se modélise par une résistance $R = 0, 020 Ω$ (elle représente la puissance qui chauffe le métal) en série avec une inductance $L = 40 μ H$ . Il est alimenté par un convertisseur qui délivre $U = 400 V$ efficaces à $f = 1, 00 kHz$ , et qui ne peut fournir plus de $200 A$ . On place en parallèle sur l'inducteur une batterie de condensateurs de capacité $C$ .

1) Sans condensateurs : calculer $∣ Z ∣$ , le facteur de puissance, le courant et la puissance de chauffe. Le convertisseur peut-il alimenter l'inducteur seul ?

2) Calculer l'admittance $Y = G + j B$ de l'inducteur. Vérifier que $G U^{2}$ redonne la puissance de chauffe.

3) Quelle capacité $C$ rend l'ensemble purement résistif ? Que deviennent alors la puissance de chauffe et le courant fourni par le convertisseur ? Conclure sur l'exigence.

4) Pourquoi a-t-on choisi la forme $P = Re (Y) U^{2}$ pour la question 3, et non $P = Re (Z) I^{2}$ ?

Corrigé

La stratégie. L'inducteur est une charge très inductive, au facteur de puissance minuscule. Le condensateur, en parallèle, n'absorbe aucune puissance moyenne mais compense la composante en quadrature du courant ; avec l'admittance, la puissance se lit sur la seule conductance.

1) L'inducteur seul. $ω = 2 π \times 1000 = 6283 rad s^{- 1}$ , $X = L ω = 0, 251 Ω$ , $∣ Z ∣ = 0, 02 0^{2} + 0, 25 1^{2} = 0, 252 Ω$ . Le facteur de puissance $cos φ = R / ∣ Z ∣ = 0, 079$ est dérisoire. Le courant vaudrait $I = \frac{U}{∣ Z ∣} = \frac{400}{0 , 252} = 1587 A, P = R I^{2} = 0, 020 \times 158 7^{2} = 50, 3 kW .$ Huit fois le courant admissible : le convertisseur ne peut pas alimenter l'inducteur seul.

2) L'admittance. $Y = \frac{1}{R + j X} = \frac{R - j X}{R ^{2} + X ^{2}}, G = \frac{R}{∣ Z ∣ ^{2}} = \frac{0 , 020}{0 , 0636} = 0, 315 S, B = - \frac{X}{∣ Z ∣ ^{2}} = - 3, 95 S .$ $G U^{2} = 0, 315 \times 40 0^{2} = 50, 3 kW$ : la même puissance, comme il se doit.

3) La compensation. Le condensateur ajoute l'admittance $j C ω$ , purement imaginaire. L'ensemble devient résistif si $C ω = - B = X / ∣ Z ∣^{2}$ : $C = \frac{X}{ω ∣ Z ∣ ^{2}} = \frac{0 , 251}{6 283 \times 0 , 0636} = 629 μ F .$ L'admittance totale vaut alors $G$ : la puissance de chauffe reste $G U^{2} = 50, 3 kW$ (le condensateur n'absorbe rien), et le convertisseur ne fournit plus que $I_{conv} = G U = 0, 315 \times 400 = 126 A < 200 A .$ L'exigence est respectée. Le courant de $1587 A$ existe toujours, mais il circule entre l'inducteur et les condensateurs, dans la boucle locale, et non plus dans le convertisseur.

4) Le choix de la forme. Inducteur et condensateurs sont en parallèle : ils ont la même tension $U$ , imposée par le convertisseur, et leurs admittances s'ajoutent. $P = Re (Y) U^{2}$ montre immédiatement que l'ajout d'une admittance imaginaire ne change pas $P$ . Avec $P = Re (Z) I^{2}$ , il aurait fallu recalculer le courant de chaque branche.

Commentaire. À $1 kHz$ , l'inductance pèse douze fois plus que la résistance ; sans compensation, aucun four ne serait alimentable. La moyenne fréquence est choisie pour la profondeur de pénétration des courants dans le métal (hors du sujet ici).

Ce que l'exercice installe. La forme $P = Re (Y) U^{2}$ pour un groupement parallèle ; un dipôle réactif ajouté en parallèle laisse $P$ inchangée et peut annuler la composante en quadrature du courant fourni ; et le courant de compensation circule localement, sans charger la source.

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