conversion de puissance (PSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Mesurer une puissance avec trois voltmètres

Puissance électrique en régime sinusoïdal · E. Puissance moyenne absorbée par une impédance · niveau 2

Énoncé

Sans wattmètre, on mesure la puissance moyenne absorbée par un appareil inductif d'impédance $Z$ inconnue en le plaçant en série avec une résistance étalon $R = 10, 0 Ω$ , sous la tension du secteur. Trois voltmètres mesurent les tensions efficaces : $U = 230 V$ aux bornes de l'ensemble, $U_{1} = 96, 8 V$ aux bornes de $R$ , $U_{2} = 145, 1 V$ aux bornes de l'appareil.

1) Tracer le diagramme de Fresnel des tensions, en prenant le courant pour origine des phases. Pourquoi $U_{1}$ est-il porté par $I$ ?

2) Montrer que la puissance moyenne absorbée par l'appareil vaut $P = \frac{U ^{2} - U _{1}^{2} - U _{2}^{2}}{2 R}$ et que son facteur de puissance vaut $\frac{U ^{2} - U _{1}^{2} - U _{2}^{2}}{2 U _{1} U _{2}}$ . Calculer.

3) En déduire le courant, puis $Re (Z)$ et $Im (Z)$ .

4) Chaque voltmètre est juste à $\pm 0, 5 %$ . Estimer l'incertitude relative sur $P$ , en traitant les trois erreurs comme indépendantes. On exige $P$ à $3 %$ près : la méthode convient-elle ? Quel est son point faible ?

Corrigé

La stratégie. La loi des mailles s'écrit en complexes, $U = U_{1} + U_{2}$ : trois longueurs connues forment un triangle, et l'angle de ce triangle est le déphasage de l'appareil. La loi des cosinus fait le reste.

1) Le triangle des tensions. Dans la résistance, la tension est en phase avec le courant : $U_{1} = R I$ est porté par $I$ . Aux bornes de l'appareil inductif, $U_{2}$ est en avance de $φ$ sur $I$ . La somme des deux vecteurs est $U$ .

2) La puissance par la loi des cosinus. L'angle entre $U_{1}$ et $U_{2}$ est $φ$ , donc $U^{2} = ∣ U_{1} + U_{2} ∣^{2} = U_{1}^{2} + U_{2}^{2} + 2 U_{1} U_{2} cos φ, cos φ = \frac{U ^{2} - U _{1}^{2} - U _{2}^{2}}{2 U _{1} U _{2}} .$ Or $P = U_{2} I cos φ$ avec $I = U_{1} / R$ , d'où $P = \frac{U _{2} U _{1} cos φ}{R} = \frac{U ^{2} - U _{1}^{2} - U _{2}^{2}}{2 R} = \frac{52 900 - 9 370 - 21 054}{20} = 1124 W,$ et $cos φ = 22 476/ (2 \times 96, 8 \times 145, 1) = 0, 800$ .

3) L'impédance. $I = U_{1} / R = 9, 68 A$ ; $Re (Z) = P / I^{2} = 12, 0 Ω$ ; $∣ Z ∣ = U_{2} / I = 15, 0 Ω$ ; $Im (Z) = 15, 0^{2} - 12, 0^{2} = 9, 0 Ω$ (positif : appareil inductif). L'appareil est donc $Z = 12 + 9 j$ ohms.

4) L'incertitude. $P$ est une différence de carrés : une petite erreur sur le grand terme $U^{2}$ se reporte sur un petit résultat. Une erreur relative $ε = 0, 5 %$ sur $U$ change $U^{2}$ de $2 ε U^{2}$ , donc $P$ de $ε U^{2} / R = 0, 005 \times 52 900/10 = 26, 5 W$ , soit $2, 35 %$ ; sur $U_{1}$ : $ε U_{1}^{2} / R = 4, 7 W$ ( $0, 42 %$ ) ; sur $U_{2}$ : $10, 5 W$ ( $0, 94 %$ ). Combinées en somme quadratique : $\frac{u ( P )}{P} = 2, 3 5^{2} + 0, 4 2^{2} + 0, 9 4^{2} % = 2, 6 %.$ Elle tient l'exigence de $3 %$ , de justesse. Le point faible est le voltmètre $U$ , dont l'erreur pèse le plus parce que $U^{2}$ est le plus grand terme de la différence ; la méthode serait encore plus mauvaise si l'appareil était presque purement réactif ( $U^{2} \approx U_{1}^{2} + U_{2}^{2}$ ). D'où l'intérêt du wattmètre, qui mesure $⟨ u i ⟩$ directement.

Ce que l'exercice installe. Le diagramme de Fresnel des tensions d'un circuit série, où l'angle entre la tension et le courant d'un dipôle se lit sur un triangle ; $P = U_{2} I cos φ$ obtenu sans multiplicateur ; et une remarque de métrologie : une grandeur obtenue par différence hérite d'incertitudes amplifiées.

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