Où va l'énergie de la bobine ? La puissance instantanée d'un moteur de pompe

Le moteur d'une pompe de jardin est modélisé, à son point de fonctionnement, par une résistance $R = 25 Ω$ en série avec une inductance $L = 80 mH$ . Il est alimenté sous $U = 230 V$ , $50 Hz$ .

1) Calculer l'impédance $∣ Z ∣$ , le courant efficace $I$ , le déphasage $φ$ et le facteur de puissance.

2) Montrer que $p (t) = U I [cos φ + cos (2 ω t - φ)]$ . Donner sa valeur moyenne, sa valeur maximale, sa valeur minimale et sa fréquence d'oscillation.

3) Pendant quelle fraction du temps le moteur rend-il de l'énergie au réseau ? Calculer l'énergie rendue au cours d'une période et la comparer à l'énergie reçue nette.

4) Calculer l'énergie magnétique maximale stockée dans l'inductance. Pourquoi l'énergie rendue au réseau est-elle plus petite ? Conclure : qui consomme la puissance moyenne ?

La stratégie. Écrire $u$ et $i$ , linéariser leur produit, puis lire le signe de $p (t)$ : la puissance moyenne est un résultat, le va-et-vient d'énergie en est un autre.

1) Impédance et courant. $X = L ω = 0, 080 \times 314, 16 = 25, 13 Ω$ , donc $∣ Z ∣ = R^{2} + X^{2} = 2 5^{2} + 25, 1 3^{2} = 35, 45 Ω, I = \frac{U}{∣ Z ∣} = \frac{230}{35 , 45} = 6, 49 A .$ Le déphasage est l'argument de $Z$ : $tan φ = X / R = 1, 005$ , $φ = 45, 1 5^{\circ}$ ( $0, 788 rad$ ), et $cos φ = R / ∣ Z ∣ = 0, 705$ .

2) La puissance instantanée. Avec $u = U 2 cos ω t$ et $i = I 2 cos (ω t - φ)$ : $p (t) = 2 U I cos ω t cos (ω t - φ) = U I [cos φ + cos (2 ω t - φ)],$ par $2 cos a cos b = cos (a - b) + cos (a + b)$ . Le second terme est de moyenne nulle : $P = ⟨ p ⟩ = U I cos φ = 230 \times 6, 49 \times 0, 705 = 1052 W,$ et l'on vérifie $P = R I^{2} = 25 \times 6, 4 9^{2} = 1052 W$ : seule la résistance consomme. La puissance oscille entre $U I (cos φ + 1) = 2545 W$ et $U I (cos φ - 1) = - 440 W$ , à la fréquence $2 f = 100 Hz$ .

3) L'énergie qui revient. Posons $x = 2 ω t - φ$ : $p < 0$ quand $cos x < - cos φ$ , soit $x \in] π - φ, π + φ [$ à $2 π$ près, un intervalle de largeur $2 φ$ sur $2 π$ . Le moteur rend donc de l'énergie pendant la fraction $\frac{2 φ}{2 π} = \frac{φ}{π} = \frac{0 , 788}{3 , 142} = 25 %$ du temps, en deux épisodes par période. Sur un épisode, $d t = d x / (2 ω)$ et $\int p d t = \frac{U I}{2 ω} \int_{π - φ}^{π + φ} (cos φ + cos x) d x = \frac{U I}{2 ω} (2 φ cos φ - 2 sin φ) < 0.$ L'énergie rendue sur une période (deux épisodes) vaut donc $W_{rendue} = \frac{2 U I}{ω} (sin φ - φ cos φ) = \frac{2 \times 1 492}{314 , 16} (0, 709 - 0, 556) = 1, 46 J .$ L'énergie reçue nette sur une période est $P T = 1052 \times 0, 020 = 21, 0 J$ : à chaque période, le moteur reçoit $22, 5 J$ et en rend $1, 46$ .

4) Qui stocke, qui consomme. L'inductance stocke au plus $\frac{1}{2} L I_{m}^{2} = \frac{1}{2} \times 0, 080 \times (6, 492)^{2} = 3, 37 J$ , qu'elle rend intégralement à chaque demi-période. Mais pendant qu'elle se décharge, la résistance continue de dissiper $R i^{2}$ : une partie de l'énergie libérée par la bobine part en chaleur sans repasser par le réseau, d'où $1, 46 J < 3, 37 J$ . En moyenne, la bobine reçoit autant qu'elle rend : son énergie est périodique, $⟨ d (\frac{1}{2} L i^{2}) / d t ⟩ = 0$ , et c'est pourquoi un dipôle purement réactif n'absorbe aucune puissance moyenne. Toute la puissance moyenne, $1052 W$ , va à $R$ , qui modélise la puissance utile du moteur et ses pertes.

Commentaire. Le réseau voit une puissance qui bat à $100 Hz$ et change de signe : l'énergie fait l'aller-retour dans les câbles sans être consommée, mais le courant qui la porte échauffe ces câbles. C'est toute la question du facteur de puissance.

Ce que l'exercice installe. La décomposition terme constant plus terme à $2 ω$ ; le signe de $p (t)$ , qui dit quand l'énergie revient (pendant la fraction $φ / π$ du temps) ; et la preuve énergétique qu'un dipôle réactif n'absorbe rien en moyenne : son énergie stockée est périodique.

Énoncé

Corrigé

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