Problème : la ligne d'une station de pompage, ou pourquoi l'on transporte sous haute tension avec un bon facteur de puissance

La stratégie. Écrire le courant à puissance imposée, $I=P/(U\cos \phi )$, puis les pertes $R_{\ell }{I}^2$ ; la chute de tension se lit sur le diagramme de Fresnel de la ligne, ${\underline{V}}_s=\underline{U}+(R_{\ell }+j{X}_{\ell })\underline{I}$. Le dimensionnement suit.

1) Pertes relatives. $R_{\ell }=\rho \frac{\ell }{s}=2,8\times 10^{-8}\times \frac{10000}{50\times 10^{-6}}=5,6\Omega$. Le courant et les pertes : $$I=\frac{P}{U\cos \phi },P_{\text{pertes}}=R_{\ell }{I}^2=\frac{R_{\ell }{P}^2}{U^2{\cos }^2\phi },\frac{P_{\text{pertes}}}{P}=\frac{R_{\ell }P}{U^2{\cos }^2\phi }.$$

2) Sous 400 V : impossible. $I=250000/(400\times 0,75)=833\mathrm{A}$, et $R_{\ell }{I}^2=5,6\times 833^2=3,9\mathrm{MW}$, quinze fois la puissance transportée. Le diagramme de Fresnel dit pire : avec $\underline{U}$ sur l'axe réel et $\underline{I}=I(\cos \phi -j\sin \phi )$, $${\underline{V}}_s=U+(R_{\ell }+j{X}_{\ell })I(\cos \phi -j\sin \phi ),V_s=5898\mathrm{V}.$$ Il faudrait près de $6\mathrm{kV}$ au départ pour obtenir $400\mathrm{V}$ à l'arrivée : le calcul des « pertes » n'a même plus de sens, la ligne n'est pas un fil de liaison mais l'essentiel du circuit.

3) Sous 20 kV. $I=250000/(20000\times 0,75)=16,7\mathrm{A}$ ; $P_{\text{pertes}}=5,6\times 16,67^2=1556\mathrm{W}$, soit $0,62\%$ de $P$. La chute de tension, petite, se calcule au premier ordre par la projection sur $\underline{U}$ : $$V_s-U\simeq R_{\ell }I\cos \phi +X_{\ell }I\sin \phi =70,0+38,6=108\mathrm{V},$$ soit $0,54\%$ (le calcul exact donne $V_s=20109\mathrm{V}$). Les deux exigences sont largement remplies.

4) Avec $\cos \phi =0,95$. $I=13,2\mathrm{A}$, pertes $970\mathrm{W}$ ($0,39\%$), chute $0,42\%$. Les pertes ont été multipliées par $(0,75/0,95{)}^2=0,62$ : à puissance utile égale, le courant ne transporte plus de composante en quadrature inutile.

5) La masse de conducteur. À $\cos \phi =0,95$ et $\epsilon =3\%$ : $R_{\ell }\le \epsilon U^2{\cos }^2\phi /P$, et $s=\rho \ell /R_{\ell }$ : $$s=\frac{\rho \ell P}{\epsilon U^2{\cos }^2\phi },m=\mu s\ell =\frac{\mu \rho {\ell }^{2}P}{\epsilon U^2{\cos }^2\phi }.$$ Sous $400\mathrm{V}$ : $R_{\ell }\le 0,0173\Omega$, $s=16200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ (un barreau de $14\mathrm{cm}$ de diamètre), $m=436\mathrm{t}$ d'aluminium. Sous $20\mathrm{kV}$ : $R_{\ell }\le 43\Omega$, $s=6,5\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$, $m=175\mathrm{kg}$. Le rapport des masses vaut $(20000/400{)}^2=2500$. (Une section aussi petite serait en pratique fixée par la tenue mécanique de la ligne, pas par les pertes.)

6) Le résultat établi et sa limite. Élever la tension réduit le courant à puissance égale, donc les pertes et la matière ; mais l'isolement coûte de plus en plus cher avec $U$ : isolateurs, distances dans l'air, pertes par effet couronne au-delà de quelques centaines de kilovolts, transformateurs aux deux bouts. Pour $250\mathrm{kW}$ sur $5\mathrm{km}$, $20\mathrm{kV}$ suffit largement ; $400\mathrm{kV}$ est réservé aux centaines de mégawatts sur des centaines de kilomètres.

Le résultat établi — l'intérêt du transport à haute tension et d'un facteur de puissance élevé. Pour transporter une puissance moyenne $P$ sur une ligne de résistance $R_{\ell }$ sous la tension $U$ avec un facteur de puissance $\cos \phi$, les pertes en ligne valent $\frac{R_{\ell }{P}^2}{U^2{\cos }^2\phi }$ : à pertes relatives données, la section et la masse de conducteur varient comme $\frac{1}{U^2{\cos }^2\phi }$. Le transformateur permet d'élever la tension pour le transport et de l'abaisser chez l'usager ; les condensateurs de relèvement, de supprimer la composante en quadrature du courant.

Ce que le problème installe. Le courant à puissance imposée varie en $1/(U\cos \phi )$, d'où les pertes en $1/(U^2{\cos }^2\phi )$ ; le diagramme de Fresnel de la ligne pour la chute de tension ; et le raisonnement de dimensionnement, qui transforme une loi de pertes en une masse de métal : un facteur $2500$ entre $400\mathrm{V}$ et $20\mathrm{kV}$.