conversion de puissance (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

La ligne 100 V d'une sonorisation

Le transformateur · C. Adaptation et transfert d'impédance · niveau 2

Énoncé

Une sonorisation de gare alimente vingt haut-parleurs répartis le long d'un quai. Chaque haut-parleur se comporte, aux fréquences de la parole, comme une résistance $R = 8 Ω$ . L'amplificateur délivre une tension de ligne efficace $U = 100 V$ . Chaque haut-parleur est branché sur la ligne par un petit transformateur (supposé idéal), de primaire côté ligne, choisi pour que le haut-parleur reçoive la puissance voulue. La ligne, aller et retour, mesure $2 \times 300 m$ , en cuivre de résistivité $1, 7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ .

1) Un haut-parleur doit recevoir $P = 10 W$ . Quelle résistance $Z_{1}$ doit-il présenter vue de la ligne ? En déduire le rapport de transformation $m = N_{2} / N_{1}$ de son transformateur. Même question pour des prises à $6 W$ et $3 W$ .

2) Les vingt haut-parleurs sont réglés à $10 W$ . Quelle résistance l'amplificateur voit-il, ligne non comprise ?

3) Calculer la résistance de la ligne pour des conducteurs de $1, 5 m m^{2}$ puis de $2, 5 m m^{2}$ , et la fraction de la puissance de l'amplificateur perdue dans la ligne. Le cahier des charges limite cette fraction à $10 %$ : quelle section choisir ?

4) Pourquoi ne pas brancher directement les vingt haut-parleurs de $8 Ω$ en parallèle sur la ligne, sans transformateurs ? Chiffrer la fraction perdue avec $2, 5 m m^{2}$ . Rapprocher du transport de l'énergie à haute tension.

Corrigé

La stratégie. Chaque haut-parleur, avec son transformateur, est vu de la ligne comme une résistance $R / m^{2}$ : on choisit $m$ pour que cette résistance absorbe la puissance voulue sous $100 V$ . La ligne devient alors une source de tension qui alimente des résistances en parallèle, et l'on retrouve la question des pertes en ligne.

1) Le rapport de transformation. Sous la tension de ligne $U$ , une résistance $Z_{1}$ absorbe $U^{2} / Z_{1}$ : pour $10 W$ , $Z_{1} = \frac{U ^{2}}{P} = \frac{10 0 ^{2}}{10} = 1000 Ω$ . Le transfert d'impédance donne $Z_{1} = R / m^{2}$ , d'où $m = \frac{R}{Z _{1}} = \frac{8}{1 000} = 0, 0894, \frac{N _{1}}{N _{2}} = 11, 2.$ Pour $6 W$ : $Z_{1} = 1667 Ω$ , $N_{1} / N_{2} = 14, 4$ ; pour $3 W$ : $Z_{1} = 3333 Ω$ , $N_{1} / N_{2} = 20, 4$ . Un abaisseur de tension, donc élévateur de courant : le haut-parleur reçoit $U_{2} = m U = 8, 94 V$ et $I_{2} = 1, 12 A$ , la ligne ne fournit que $0, 1 A$ .

2) La charge vue par l'amplificateur. Vingt résistances de $1000 Ω$ en parallèle : $1 000/20 = 50 Ω$ , et $10 0^{2} /50 = 200 W$ au total.

3) La ligne. $R_{ℓ} = ρ \frac{ℓ}{s}$ avec $ℓ = 600 m$ : $6, 80 Ω$ pour $1, 5 m m^{2}$ , $4, 08 Ω$ pour $2, 5 m m^{2}$ . La ligne et la charge sont parcourues par le même courant ; la fraction de la puissance de l'amplificateur perdue dans la ligne est donc $R_{ℓ} / (R_{ℓ} + 50)$ : $1, 5 m m^{2} : \frac{6 , 80}{56 , 8} = 12 %; 2, 5 m m^{2} : \frac{4 , 08}{54 , 1} = 7, 5 %.$ On choisit $2, 5 m m^{2}$ , conforme au cahier des charges. (On a supposé, pour simplifier, toute la charge au bout de la ligne : c'est le cas le plus défavorable.)

4) Sans transformateurs. Vingt haut-parleurs de $8 Ω$ en parallèle font $0, 40 Ω$ ; avec $4, 08 Ω$ de ligne, la fraction perdue serait $4, 08/4, 48 = 91 %$ , et l'amplificateur devrait fournir des dizaines d'ampères. Les transformateurs élèvent la résistance de charge vue de la ligne d'un facteur $1/ m^{2} = 125$ : à puissance égale, la ligne travaille sous tension élevée et courant faible, et les pertes $R_{ℓ} I^{2}$ s'effondrent. C'est, à l'échelle d'un quai, le principe du transport à haute tension.

Ce que l'exercice installe. Le transfert d'impédance $Z_{1} = R / m^{2}$ , qui fixe le rapport de transformation à partir d'une puissance voulue ; la ligne vue comme une résistance en série avec la charge ; et le transformateur comme moyen de faire travailler une ligne à faible courant.

Exercices semblables

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre