Le transformateur d'une lampe halogène : spires, courants, fusible

Une lampe halogène de $50 W$ , prévue pour $12 V$ , est alimentée par un transformateur abaisseur branché sur le secteur, $230 V$ , $50 Hz$ . Le secondaire compte $N_{2} = 60$ spires. On suppose le transformateur idéal et la lampe résistive.

1) Calculer le rapport de transformation et le nombre de spires du primaire.

2) Calculer les courants efficaces au secondaire et au primaire, la résistance de la lampe chaude et la résistance qu'elle présente vue du primaire.

3) Le fabricant protège le primaire par un fusible. Choisir entre des calibres de $160 mA$ , $250 mA$ et $1 A$ , sachant qu'on veut le plus petit calibre qui laisse fonctionner la lampe.

4) Quelle est la section relative des fils du primaire et du secondaire, à densité de courant égale ? Justifier par la conservation de la puissance que la masse de cuivre se partage à peu près également entre les deux enroulements.

La stratégie. Faraday donne le rapport des tensions, Ampère dans un noyau idéal celui des courants ; le produit conserve la puissance. Tout se calcule à partir de la lampe, côté secondaire, puis remonte au primaire.

1) Spires. $m = \frac{U _{2}}{U _{1}} = \frac{12}{230} = 0, 0522$ ; comme $m = N_{2} / N_{1}$ , $N_{1} = \frac{N _{2}}{m} = 60 \times \frac{230}{12} = 1150$ spires. Abaisseur : $N_{1} > N_{2}$ .

2) Courants. $I_{2} = \frac{P}{U _{2}} = \frac{50}{12} = 4, 17 A$ , puis $I_{1} = m I_{2} = 0, 0522 \times 4, 17 = 0, 217 A$ . Contrôle par la puissance : $U_{1} I_{1} = 230 \times 0, 2174 = 50 W$ , égale à $U_{2} I_{2}$ : le transformateur idéal ne dissipe ni ne stocke rien. La lampe chaude a la résistance $R = U_{2}^{2} / P = 2, 88 Ω$ ; vue du primaire, elle présente $U_{1} / I_{1} = R / m^{2} = 2, 88/0, 002722 = 1058 Ω$ , soit $23 0^{2} /50$ : le secteur « voit » une lampe de $50 W$ sous $230 V$ .

3) Le fusible. Le primaire porte $0, 217 A$ en régime permanent : $160 mA$ fondrait ; $250 mA$ convient, avec une marge de $15 %$ ; $1 A$ protégerait mal (un court-circuit franc au secondaire ferait passer au primaire bien plus, mais un défaut partiel passerait inaperçu). On choisit $250 mA$ , de type temporisé, car le filament froid, de résistance bien plus faible, appelle à l'allumage un courant de pointe de quelques dizaines de millisecondes.

4) Le cuivre. À densité de courant $J$ égale, la section est proportionnelle au courant : $s_{1} / s_{2} = I_{1} / I_{2} = m = 1/19, 2$ . La longueur de fil est proportionnelle au nombre de spires (spires de même périmètre moyen), $ℓ_{1} / ℓ_{2} = N_{1} / N_{2} = 1/ m$ . Le volume de cuivre, $s ℓ$ , est donc le même pour les deux enroulements : $s_{1} ℓ_{1} = s_{2} ℓ_{2}$ . C'est la traduction matérielle de $N_{1} I_{1} = N_{2} I_{2}$ : les ampères-tours sont les mêmes, et le cuivre les porte.

Ce que l'exercice installe. Le chemin de calcul « charge, secondaire, primaire » avec $m$ et $1/ m$ ; le contrôle systématique par la conservation de la puissance ; une résistance vue du primaire divisée par $m^{2}$ ; et le sens physique de $N_{1} I_{1} = N_{2} I_{2}$ : des ampères-tours égaux, donc des volumes de cuivre égaux.

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables