conversion de puissance (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Pourquoi des fils ou des tôles ? Les courants de Foucault dans un noyau

Le transformateur · D. Le transformateur réel : pertes et défauts · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Les premières bobines d'induction avaient un noyau fait d'un faisceau de fils de fer vernis ; les transformateurs modernes, un empilement de tôles. On étudie un barreau de fer cylindrique d'axe $O z$ , de rayon $a$ , de conductivité $σ = 2, 0 \times 1 0^{6} S m^{- 1}$ , plongé dans un champ magnétique axial, uniforme et sinusoïdal, $B = B_{m} cos (ω t) u_{z}$ , avec $B_{m} = 1, 2 T$ et $f = 50 Hz$ . On néglige le champ magnétique créé par les courants induits eux-mêmes (« champ propre »).

1) Décrire la géométrie des courants induits. Par la loi de Faraday appliquée à un cercle de rayon $r$ , calculer le champ électrique induit $E_{θ} (r, t)$ , puis la densité de courant.

2) Calculer la puissance moyenne dissipée par unité de volume, moyennée sur le volume du barreau, et montrer qu'elle vaut $⟨ p ⟩ = \frac{σ ω ^{2} B _{m}^{2} a ^{2}}{16}$ .

3) Application à un noyau massif de rayon $a = 2 cm$ . On admet que le modèle « champ propre négligé » n'est valable que si $a$ est petit devant $δ = 2/ (μ_{0} μ_{r} σ ω)$ , avec $μ_{r} = 1000$ . Le résultat est-il crédible ?

4) Le même volume est fait de fils isolés de rayon $0, 5 mm$ . Calculer la puissance volumique, le facteur de réduction, et vérifier la validité du modèle. Pour un noyau de $1 d m^{3}$ d'un transformateur de $1 kV A$ , l'exigence « pertes par courants de Foucault inférieures à $1 %$ de la puissance nominale » est-elle remplie ?

5) Pour des tôles d'épaisseur $e$ , on admet $⟨ p ⟩ = \frac{σ ω ^{2} B _{m}^{2} e ^{2}}{24}$ . Comparer avec des tôles de $0, 35 mm$ . Pourquoi les tôles sont-elles isolées les unes des autres ?

Corrigé

La stratégie. Le champ magnétique variable induit un champ électrique dont la circulation se calcule par Faraday sur un cercle, par symétrie ; la loi d'Ohm locale donne $$ ; la puissance volumique $ \cdot E = σ E^{2}$ se moyenne dans le temps, puis dans l'espace. Le résultat en $a^{2}$ dit tout.

1) Courants induits. Par symétrie de révolution, les lignes de courant sont des cercles d'axe $O z$ : $E = E_{θ} (r, t) u_{θ}$ . Faraday sur le cercle de rayon $r$ orienté selon $u_{θ}$ (normale $u_{z}$ ) : $2 π r E_{θ} = - \frac{d}{d t} (π r^{2} B) ⟹ E_{θ} = - \frac{r}{2} \frac{d B}{d t} = \frac{r ω B _{m}}{2} sin ω t,  = σ E .$ Le courant est nul sur l'axe et maximal au bord.

2) Puissance. $p = σ E_{θ}^{2} = \frac{σ r ^{2} ω ^{2} B _{m}^{2}}{4} sin^{2} ω t$ , de moyenne temporelle $\frac{σ r ^{2} ω ^{2} B _{m}^{2}}{8}$ . En moyenne sur la section (le barreau est invariant selon $z$ ), avec l'élément d'aire $2 π r d r$ : $⟨ p ⟩ = \frac{1}{π a ^{2}} \int_{0}^{a} \frac{σ r ^{2} ω ^{2} B _{m}^{2}}{8} 2 π r d r = \frac{σ ω ^{2} B _{m}^{2}}{4 a ^{2}} \cdot \frac{a ^{4}}{4} = \frac{σ ω ^{2} B _{m}^{2} a ^{2}}{16} .$ Proportionnelle à $a^{2}$ : la force électromotrice d'une boucle croît comme son aire, sa résistance comme son périmètre.

3) Le noyau massif. $⟨ p ⟩ = \frac{2 \times 1 0 ^{6} \times 314 , 1 6 ^{2} \times 1 , 2 ^{2} \times 0 , 0 2 ^{2}}{16} = 7, 1 \times 1 0^{6} W m^{- 3}$ , soit $7 kW$ par décimètre cube : absurde pour un transformateur, et d'ailleurs hors du domaine du modèle : $δ = 2/ (4 π \times 1 0^{- 7} \times 1000 \times 2 \times 1 0^{6} \times 314) = 1, 6 mm$ , bien plus petit que $a = 20 mm$ . Les courants induits créent un champ propre qui repousse le flux vers la surface : le cœur du barreau ne serait même plus aimanté. Le calcul ne vaut pas, mais sa conclusion qualitative oui : un noyau massif est inutilisable.

4) Les fils. Avec $a = 0, 5 mm$ : $⟨ p ⟩ = 4, 4 \times 1 0^{3} W m^{- 3} = 4, 4 W d m^{- 3}$ ( $0, 58 W k g^{- 1}$ pour une masse volumique de $7650 kg m^{- 3}$ ). Le facteur de réduction, à volume de fer égal, vaut $(20/0, 5)^{2} = 1600$ : le vernis empêche les courants de passer d'un fil à l'autre, chaque boucle reste dans un fil. Cette fois $a \approx δ /3$ : le modèle est acceptable. Pour $1 d m^{3}$ de noyau : $4, 4 W$ , soit $0, 44 %$ de $1 kV A$ : exigence remplie.

5) Les tôles. $e = 0, 35 mm$ : $⟨ p ⟩ = \frac{2 \times 1 0 ^{6} \times 314 , 1 6 ^{2} \times 1 , 44 \times ( 0 , 35 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{24} = 1, 45 \times 1 0^{3} W m^{- 3}$ , trois fois moins que les fils, et un empilement de tôles se fabrique et remplit l'espace bien mieux qu'un faisceau de fils. Les tôles sont isolées (vernis, oxyde) : sans cela, les courants se refermeraient d'une tôle à l'autre, et le noyau redeviendrait massif. Le silicium ajouté au fer, lui, réduit $σ$ .

Ce que l'exercice installe. La géométrie des courants de Foucault (cercles autour de l'axe du champ), leur calcul par Faraday puis Ohm local, la puissance en $σ ω^{2} B_{m}^{2} a^{2}$ ; le feuilletage comme réduction de la dimension $a$ transverse au champ ; et le réflexe de vérifier le domaine du modèle avant de croire un nombre.

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