conversion de puissance (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Problème : la pince ampèremétrique, un transformateur de courant

Le transformateur · E. Applications · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une pince ampèremétrique mesure le courant alternatif d'un câble sans le couper. Ses deux mâchoires, en fer doux feuilleté, forment en se refermant un tore magnétique de section $S = 1, 0 c m^{2}$ et de longueur moyenne $ℓ = 15 cm$ , qui enserre le câble : le câble, parcouru par le courant $i_{1}$ , est un primaire à une seule spire, $N_{1} = 1$ . Un secondaire de $N_{2} = 1000$ spires est bobiné sur le tore ; il est fermé sur une résistance de mesure $R_{b} = 10 Ω$ , aux bornes de laquelle un voltmètre lit $u_{b}$ . L'enroulement secondaire a une résistance $r_{2} = 15 Ω$ . Le câble porte un courant sinusoïdal de $50 Hz$ , de valeur efficace $I_{1}$ . Questions 1 à 4 : le fer a une perméabilité infinie.

1) Appliquer le théorème d'Ampère, pour l'excitation $H$ , à la ligne de champ moyenne du tore, avec les conventions de la séance. En déduire, pour une perméabilité infinie, la relation entre $i_{1}$ et $i_{2}$ . Montrer qu'elle ne dépend ni de $R_{b}$ , ni de $r_{2}$ .

2) En déduire la sensibilité de la pince, $u_{b} / i_{1}$ , en millivolts par ampère. Quelle tension lit-on pour $I_{1} = 100 A$ ?

3) Par la loi de Faraday, exprimer l'amplitude $B_{m}$ du champ magnétique dans le tore en fonction de $I_{1}$ , puis la calculer pour $I_{1} = 100 A$ . Le fer sature à $B_{sat} = 1, 5 T$ : jusqu'à quel courant la pince est-elle utilisable ?

4) Pourquoi le flux dans le tore dépend-il de $R_{b} + r_{2}$ alors que le courant $i_{2}$ n'en dépend pas ? Que se passerait-il, pour un vrai noyau, si l'on remplaçait $R_{b}$ par une résistance de $10 kΩ$ ?

5) On ouvre le secondaire (on débranche la résistance de mesure) alors que le câble porte $100 A$ . Le vrai fer a une perméabilité relative $μ_{r} = 5000$ tant qu'il ne sature pas. Que devient l'excitation dans le tore ? Montrer que le fer sature pendant la plus grande partie de chaque période. Estimer la durée $Δ t$ du basculement du flux autour de chaque passage du courant par zéro, puis la tension de crête aux bornes du secondaire ouvert. Même question pour $1000 A$ .

6) Énoncer le résultat établi et la règle de sécurité qui en découle.

Corrigé

La stratégie. Ampère sur le tore relie les ampères-tours à l'excitation ; un fer de perméabilité infinie impose $H = 0$ , donc l'égalité des ampères-tours, quelle que soit la charge : c'est un transformateur de courant. Faraday dit ensuite quel flux il faut pour faire passer $i_{2}$ dans la résistance ; enfin, secondaire ouvert, plus rien n'impose $H = 0$ .

1) La loi des courants. La ligne moyenne du tore enlace le câble une fois, dans le sens de $i_{1}$ , et les $N_{2}$ spires du secondaire, dans lesquelles $i_{2}$ circule en sens inverse (il sort par le point) : $\oint H \cdot d ℓ = H ℓ = N_{1} i_{1} - N_{2} i_{2} .$ Dans le fer, $B = μ_{0} μ_{r} H$ avec $B$ fini ; si $μ_{r} \to \infty$ , $H \to 0$ , et $N_{1} i_{1} = N_{2} i_{2}, i_{2} = \frac{N _{1}}{N _{2}} i_{1} = \frac{i _{1}}{1 000} .$ Ni $R_{b}$ ni $r_{2}$ n'apparaissent : la relation ne dit rien du circuit secondaire. Le secondaire impose son courant, quelle que soit la résistance qu'il traverse (dans les limites de la question 3) : c'est une source de courant.

2) Sensibilité. $u_{b} = R_{b} i_{2} = \frac{R _{b}}{N _{2}} i_{1}$ , soit $10/1 000 = 10 mV A^{- 1}$ . Pour $I_{1} = 100 A$ : $I_{2} = 0, 100 A$ et $U_{b} = 1, 00 V$ . Le voltmètre est gradué directement en ampères.

3) Le flux nécessaire. La tension induite dans le secondaire fait circuler $i_{2}$ dans $R_{b} + r_{2}$ : $N_{2} S \frac{d B}{d t} = (R_{b} + r_{2}) i_{2}$ . En amplitudes, $N_{2} S ω B_{m} = (R_{b} + r_{2}) I_{2} 2$ , d'où $B_{m} = \frac{( R _{b} + r _{2} ) N _{1} I _{1} 2}{N _{2}^{2} S ω} = \frac{25 \times 100 \times 2}{1 0 ^{6} \times 1 0 ^{- 4} \times 314 , 16} = 0, 11 T .$ Le fer est loin de la saturation. Il sature pour $B_{m} = 1, 5 T$ , soit $I_{1} = 1, 5 \times \frac{1 0 ^{6} \times 1 0 ^{- 4} \times 314 , 16}{25 2} = 1330 A$ : au-delà, la pince ne mesure plus. Une pince à grand calibre a une résistance de mesure plus faible.

4) Le flux et la charge. $i_{2}$ est fixé par $i_{1}$ ; mais pour le faire passer dans $R_{b} + r_{2}$ , il faut une tension, donc un flux variable, proportionnel à $R_{b} + r_{2}$ . Dans un vrai fer, entretenir ce flux exige une excitation $H$ non nulle : les ampères-tours ne se compensent plus exactement, et la mesure est d'autant plus fausse que $R_{b} + r_{2}$ est grande. Avec $10 kΩ$ , il faudrait $B_{m} = 45 T$ pour $100 A$ : impossible, le fer sature et la mesure n'a plus de sens. Un transformateur de courant se ferme sur une petite résistance.

5) Le secondaire ouvert. $i_{2} = 0$ : plus rien ne compense $i_{1}$ , et $H ℓ = N_{1} i_{1}$ . L'amplitude de l'excitation vaut $H_{m} = \frac{N _{1} I _{1} 2}{ℓ} = \frac{141}{0 , 15} = 943 A m^{- 1}$ . Le fer sature dès $H_{sat} = \frac{B _{sat}}{μ _{0} μ _{r}} = \frac{1 , 5}{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 5 000} = 239 A m^{- 1}$ , soit dès que $∣ i_{1} ∣$ dépasse $H_{sat} ℓ / N_{1} = 36 A$ : le fer est saturé pendant plus des quatre cinquièmes de chaque période ( $84 %$ ). Le flux reste bloqué à $\pm B_{sat} S$ et bascule d'une valeur à l'autre pendant que $i_{1}$ traverse l'intervalle $[- 36 A; 36 A]$ ; près de zéro, $i_{1}$ varie à la vitesse $ω I_{1} 2 = 4, 4 \times 1 0^{4} A s^{- 1}$ , d'où $Δ t ≃ \frac{2 \times 36}{4 , 4 \times 1 0 ^{4}} = 1, 6 ms, u_{2, cr e ˆ te} ≃ N_{2} \frac{2 B _{sat} S}{Δ t} = \frac{1 000 \times 2 \times 1 , 5 \times 1 0 ^{- 4}}{1 , 6 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 190 V .$ Pour $1000 A$ , le basculement est dix fois plus rapide : environ $1, 9 kV$ de crête, deux fois par période. Le fer saturé chauffe en outre (cycle d'hystérésis parcouru en entier).

6) Le résultat établi. Il se lit dans la question 1, et sa limite dans la question 5.

Le résultat établi — la loi des courants du transformateur idéal, indépendante de la charge. Dans un transformateur dont le noyau a une perméabilité infinie, le théorème d'Ampère impose $N_{1} i_{1} = N_{2} i_{2}$ à chaque instant, quelle que soit la charge du secondaire : le secondaire se comporte comme une source de courant, image fidèle du primaire. C'est le principe du transformateur de courant et de la pince ampèremétrique. La règle qui en découle : on ne laisse jamais ouvert le secondaire d'un transformateur de courant ; rien n'y compense plus les ampères-tours du primaire, le fer sature et des pointes de tension dangereuses apparaissent. On le court-circuite avant de débrancher l'appareil de mesure.

Ce que le problème installe. Ampère avec $H$ dans un circuit magnétique, et $H \to 0$ quand $μ_{r} \to \infty$ ; la loi des courants indépendante de la charge, qui distingue le transformateur idéal du simple transformateur de tension ; Faraday pour le flux nécessaire, qui fixe le domaine d'emploi (petite résistance de mesure, pas de saturation) ; et la lecture physique du secondaire ouvert : saturation, basculement brutal du flux, surtension.

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