conversion de puissance (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Démarrer une machine à courant continu qui entraîne une charge visqueuse

Conversion électro-magnéto-mécanique : machines synchrone et à courant continu · E. La machine à courant continu (MCC) · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une machine à courant continu ( $K = 0, 50 V s ra d^{- 1}$ , $R = 1, 0 Ω$ , inductance d'induit négligée) entraîne un ventilateur qui exerce un couple résistant $- f Ω$ , $f = 0, 020 N m s ra d^{- 1}$ . Le moment d'inertie de l'ensemble vaut $J = 0, 010 kg m^{2}$ . Le courant admissible dans l'induit est de $8 A$ .

1) Écrire les équations électrique et mécanique. En déduire l'équation différentielle de $Ω (t)$ pour une tension d'induit $U$ constante appliquée à $t = 0$ , le moteur étant à l'arrêt. Donner la constante de temps $τ$ et la vitesse finale.

2) Démarrage direct sous $U = 24 V$ : calculer $τ$ , $Ω_{\infty}$ , le courant initial et le courant final ; tracer $Ω (t)$ et $i (t)$ . L'exigence sur le courant est-elle respectée ?

3) Sous quelle tension faudrait-il démarrer pour respecter $8 A$ ? Pourquoi ne peut-on en rester là ?

4) On applique une rampe de tension $U (t) = a t$ jusqu'à $24 V$ (hacheur). En supposant que la vitesse suit à chaque instant sa valeur d'équilibre, estimer le courant pendant la rampe et la pente maximale admissible. Une simulation numérique donne un courant maximal de $7, 4 A$ pour $a = 168 V s^{- 1}$ et place la limite vers $187 V s^{- 1}$ (données de l'énoncé) : commenter.

Corrigé

La stratégie. Deux équations couplées : électrique, $U = K Ω + R i$ ; mécanique, $J Ω ˙ = K i - f Ω$ . On élimine $i$ : un premier ordre en $Ω$ . Le courant de démarrage vient de l'absence de fcem à l'arrêt.

1) L'équation. $i = \frac{U - K Ω}{R}$ , reporté dans l'équation mécanique : $J \frac{d Ω}{d t} = \frac{K ( U - K Ω )}{R} - f Ω ⟹ τ \frac{d Ω}{d t} + Ω = Ω_{\infty},$ $τ = \frac{J R}{K ^{2} + R f}, Ω_{\infty} = \frac{K U}{K ^{2} + R f} .$ La fcem, en $K^{2} / R$ , agit comme un frottement électrique qui s'ajoute à $f$ : elle accélère l'établissement du régime.

2) Démarrage direct. $K^{2} + R f = 0, 25 + 0, 02 = 0, 27$ ; $τ = \frac{0 , 010}{0 , 27} = 37 ms$ , $Ω_{\infty} = \frac{0 , 5 \times 24}{0 , 27} = 44, 4 rad s^{- 1}$ , $Ω (t) = Ω_{\infty} (1 - e^{- t / τ})$ . Le courant $i = (U - K Ω) / R$ part de $U / R = 24 A$ (à l'arrêt, pas de fcem) et décroît vers $(24 - 22, 2) /1 = 1, 78 A$ , la valeur qui équilibre le frottement. Il vaut encore $10 A$ à $t = τ$ : l'exigence de $8 A$ n'est pas respectée.

3) Tension réduite. À l'arrêt, $i = U / R$ : il faut $U \leq 8 V$ . Mais sous $8 V$ le moteur ne monte qu'à $Ω_{\infty} = 0, 5 \times 8/0, 27 = 14, 8 rad s^{- 1}$ : il faut ensuite augmenter la tension, par paliers ou continûment, à mesure que la fcem croît.

4) La rampe. Si $Ω$ suit $\frac{K U ( t )}{K ^{2} + R f}$ , alors $Ω ˙ = \frac{K a}{K ^{2} + R f}$ et l'équation mécanique donne $i = \frac{J Ω ˙ + f Ω}{K} = \frac{J a}{K ^{2} + R f} + \frac{f Ω}{K} .$ Le second terme est maximal en fin de rampe ( $1, 78 A$ ) ; on veut donc $\frac{J a}{K ^{2} + R f} \leq 8 - 1, 78 = 6, 22 A$ , soit $a \leq \frac{6 , 22 \times 0 , 27}{0 , 010} = 168 V s^{- 1}$ : la rampe dure $24/168 = 0, 14 s$ . La simulation donne $7, 4 A$ pour cette pente : l'estimation est prudente, car la vitesse ne suit qu'avec le retard $τ$ , ce qui ajoute un transitoire au début mais retarde d'autant la fin. Le démarrage en rampe prend à peine plus de temps que le démarrage direct ( $3 τ = 0, 11 s$ pour $95 %$ ) et divise le courant de pointe par trois.

Ce que l'exercice installe. Les équations électrique et mécanique couplées, un premier ordre de constante $J R / (K^{2} + R f)$ ; le courant de démarrage $U / R$ , dû à l'absence de fcem à l'arrêt ; et le démarrage à tension progressive, que réalise un hacheur.

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