conversion de puissance (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Le champ glissant quand la quadrature est imparfaite

Conversion électro-magnéto-mécanique : machines synchrone et à courant continu · B. Champ magnétique tournant · niveau 2

Énoncé

Le stator d'une machine diphasée bipolaire porte deux bobinages identiques, d'axes $θ = 0$ et $θ = π /2$ , à bobinage réparti : chacun crée dans l'entrefer un champ radial sinusoïdal en $θ$ , $B_{1} = k i_{1} cos θ$ et $B_{2} = k i_{2} sin θ$ . Ils sont parcourus par $i_{1} = I_{m} cos ω t$ et $i_{2} = I_{m} cos (ω t - ψ)$ .

1) Pour $ψ = π /2$ , montrer que le champ total est une onde de module constant qui tourne à la vitesse angulaire $ω$ (champ glissant). Dans quel sens ? Que se passe-t-il pour $ψ = - π /2$ ?

2) Pour $ψ$ quelconque, montrer que le champ est la somme d'une onde qui tourne dans le sens direct, d'amplitude $k I_{m} cos \frac{π /2 - ψ}{2}$ , et d'une onde qui tourne en sens inverse, d'amplitude $k I_{m} sin \frac{π /2 - ψ}{2}$ .

3) Calculer le rapport des amplitudes inverse et directe pour $ψ = 6 0^{\circ}$ , puis pour $ψ = 0$ . Décrire le champ dans ce dernier cas.

4) Le rotor tourne en synchronisme avec l'onde directe. L'onde inverse, qui défile devant lui à la vitesse relative $2 ω$ , ne produit qu'un couple pulsant de moyenne nulle, source de vibrations. Le cahier des charges limite l'onde inverse à $10 %$ de l'onde directe : dans quel intervalle doit rester le déphasage $ψ$ ?

Corrigé

La stratégie. Écrire le champ total, puis le décomposer en ondes $cos (θ \mp ω t)$ par les formules de trigonométrie, ou, plus vite, en notation complexe.

1) La quadrature parfaite. Avec $i_{2} = I_{m} sin ω t$ : $B = k I_{m} (cos ω t cos θ + sin ω t sin θ) = k I_{m} cos (θ - ω t) .$ Le maximum se trouve en $θ = ω t$ : une onde d'amplitude constante $k I_{m}$ qui tourne à $θ ˙ = + ω$ , dans le sens de l'axe du bobinage 1 vers celui du bobinage 2, c'est-à-dire du bobinage en avance vers celui en retard. Pour $ψ = - π /2$ , $i_{2} = - I_{m} sin ω t$ et $B = k I_{m} cos (θ + ω t)$ : le sens s'inverse. Permuter deux phases inverse le sens de rotation.

2) Le cas général. Écrivons $B = Re [k I_{m} e^{j ω t} (cos θ + e^{- j ψ} sin θ)]$ , et $cos θ = \frac{e ^{j θ} + e ^{- j θ}}{2}$ , $sin θ = \frac{e ^{j θ} - e ^{- j θ}}{2 j}$ : $cos θ + e^{- j ψ} sin θ = \frac{1 - j e ^{- j ψ}}{2} e^{j θ} + \frac{1 + j e ^{- j ψ}}{2} e^{- j θ} .$ Le terme en $e^{j (ω t - θ)}$ est l'onde directe ( $cos (θ - ω t + \dots)$ ), celui en $e^{j (ω t + θ)}$ l'onde inverse. Comme $j e^{- j ψ} = e^{j (π /2 - ψ)}$ et $∣ 1 \pm e^{j β} ∣ = 2 ∣ cos \frac{β}{2} ∣$ ou $2 ∣ sin \frac{β}{2} ∣$ : $B_{dir} = k I_{m} cos \frac{π /2 - ψ}{2}, B_{inv} = k I_{m} sin \frac{π /2 - ψ}{2} .$ Pour $ψ = π /2$ : $B_{inv} = 0$ , on retrouve la question 1.

3) Applications. $ψ = 6 0^{\circ}$ : $B_{dir} = 0, 966 k I_{m}$ , $B_{inv} = 0, 259 k I_{m}$ , rapport $tan 1 5^{\circ} = 0, 27$ . $ψ = 0$ : deux ondes égales, $0, 707 k I_{m}$ chacune, rapport 1 ; leur somme est $B = 2 k I_{m} cos ω t cos (θ - π /4)$ : un champ pulsant, fixe dans l'espace (d'axe $π /4$ ), dont l'amplitude oscille. C'est le champ d'une machine monophasée : deux bobinages en phase ne valent qu'un bobinage.

4) La tolérance. $\frac{B _{inv}}{B _{dir}} = tan \frac{∣ π /2 - ψ ∣}{2} \leq 0, 1$ impose $∣ π /2 - ψ ∣ \leq 2 arctan 0, 1 = 11, 4^{\circ}$ : $ψ$ doit rester entre $78, 6^{\circ}$ et $101, 4^{\circ}$ . Une erreur de phase de quelques degrés est tolérable ; une alimentation monophasée, jamais.

Ce que l'exercice installe. Le théorème de Ferraris démontré, puis généralisé : tout champ produit par deux bobinages en quadrature d'espace se décompose en deux ondes tournant en sens opposés, dont les amplitudes dépendent du déphasage temporel ; la quadrature temporelle annule l'onde inverse ; la permutation de deux phases inverse le sens ; un champ pulsant est la somme de deux ondes égales.

Exercices semblables

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre