conversion de puissance (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Problème : le compresseur d'une pompe à chaleur, un moteur synchrone à aimants

Conversion électro-magnéto-mécanique : machines synchrone et à courant continu · D. La machine synchrone · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le compresseur d'une pompe à chaleur domestique est entraîné par un moteur synchrone à aimants permanents, alimenté par un onduleur à fréquence variable. On adopte le modèle du programme : machine diphasée et bipolaire, à pôles lisses, entrefer constant d'épaisseur $e = 1, 0 mm$ , de rayon moyen $R = 12 cm$ et de longueur $ℓ = 15 cm$ ; fers de perméabilité infinie. Les deux phases du stator (l'induit) créent dans l'entrefer un champ radial glissant $B_{S} cos (θ - θ_{S})$ , avec $θ_{S} = ω t$ ; les aimants du rotor (l'inducteur) créent un champ radial $B_{R} cos (θ - θ_{R})$ , lié au rotor dont la position est $θ_{R}$ . Données de l'énoncé : $B_{S} = 0, 30 T$ , $B_{R} = 0, 80 T$ . Cahier des charges : couple de $8, 0 N m$ à $3000 tr mi n^{- 1}$ avec une marge d'au moins $30 %$ avant décrochage.

1) Montrer que l'énergie magnétique de l'entrefer vaut $E = \frac{π e R ℓ}{2 μ _{0}} [B_{S}^{2} + B_{R}^{2} + 2 B_{S} B_{R} cos (θ_{S} - θ_{R})]$ .

2) À courants statoriques et aimantation fixés ( $B_{S}$ , $B_{R}$ constants), calculer le couple $Γ = \frac{\partial E}{\partial θ _{R}}$ exercé sur le rotor. On posera $α = θ_{S} - θ_{R}$ et $E_{0} = \frac{π e R ℓ B _{S} B _{R}}{μ _{0}}$ . Calculer $E_{0}$ .

3) Le rotor tourne à $Ω$ : $θ_{R} = Ω t + θ_{0}$ . Montrer que le couple moyen n'est non nul que si $Ω = ω$ (condition de synchronisme). En régime synchrone, déterminer l'angle $α_{0}$ qui donne $8 N m$ , et discuter la stabilité de l'équilibre selon $α_{0}$ . La marge avant décrochage respecte-t-elle le cahier des charges ?

4) Le moteur, à l'arrêt, est branché directement sur le réseau à $50 Hz$ . Le moment d'inertie du rotor et du compresseur vaut $J = 2, 0 \times 1 0^{- 3} kg m^{2}$ . Estimer l'angle dont le rotor peut tourner, sous le couple maximal, pendant que le champ tourne d'un demi-tour. Conclure sur le démarrage. Quel est le rôle de l'onduleur ?

5) Chaque phase de l'induit vérifie, en régime sinusoïdal (inductance cyclique $L_{s}$ et expression de la fcem admises), $V = R_{s} I + j L_{s} ω I + E$ . Données : $E = 120 V$ efficaces à $3000 tr mi n^{- 1}$ , $R_{s} = 0, 30 Ω$ , $L_{s} = 5, 0 mH$ ; l'onduleur règle le courant en phase avec la fcem. Calculer le courant pour $8 N m$ , en admettant que la puissance mécanique est $2 E I$ (deux phases). Tracer le diagramme de Fresnel d'une phase ; en déduire $V$ et le facteur de puissance vu par l'onduleur.

6) Faire le bilan de puissance de la machine, avec les seules pertes cuivre, et justifier l'égalité entre la puissance absorbée par les fcem et la puissance mécanique. Calculer le rendement. Dans quelles conditions la machine fonctionnerait-elle en alternateur ? Énoncer les résultats établis.

Corrigé

La stratégie. Superposer les deux ondes de champ, intégrer la densité d'énergie sur l'entrefer, dériver par rapport à la position du rotor : le couple dépend du décalage entre les deux champs. Le synchronisme rend ce décalage constant. Puis l'induit, comme un circuit en régime sinusoïdal, et le bilan de puissance.

1) L'énergie de l'entrefer. Le champ total est radial, $B (θ) = B_{S} cos (θ - θ_{S}) + B_{R} cos (θ - θ_{R})$ , uniforme dans l'épaisseur. L'élément de volume de l'entrefer est $e R ℓ d θ$ , et la densité d'énergie $B^{2} / (2 μ_{0})$ : $E = \frac{e R ℓ}{2 μ _{0}} \int_{0}^{2 π} B^{2} d θ .$ Avec $\int_{0}^{2 π} cos^{2} (θ - a) d θ = π$ et $\int_{0}^{2 π} cos (θ - a) cos (θ - b) d θ = π cos (a - b)$ : $E = \frac{π e R ℓ}{2 μ _{0}} [B_{S}^{2} + B_{R}^{2} + 2 B_{S} B_{R} cos (θ_{S} - θ_{R})] .$ L'énergie est maximale quand les deux champs sont alignés.

2) Le couple. À $B_{S}$ et $B_{R}$ fixés : $Γ = \frac{\partial E}{\partial θ _{R}} = \frac{π e R ℓ B _{S} B _{R}}{μ _{0}} sin (θ_{S} - θ_{R}) = E_{0} sin α,$ $E_{0} = \frac{π \times 1 0 ^{- 3} \times 0 , 12 \times 0 , 15 \times 0 , 30 \times 0 , 80}{4 π \times 1 0 ^{- 7}} = 10, 8 N m .$ Pour $α > 0$ (champ statorique en avance), le couple est positif : le rotor est entraîné vers le champ statorique, comme une aiguille aimantée vers un champ. (Le signe dépend de l'orientation choisie pour $α$ ; seule compte cette lecture physique.)

3) Synchronisme et stabilité. $α (t) = (ω - Ω) t - θ_{0}$ . Si $Ω \neq = ω$ , $α$ parcourt tous les angles et $sin α$ a une moyenne nulle : le couple est alternatif, de moyenne nulle. Si $Ω = ω$ , $α = α_{0}$ est constant et $Γ = E_{0} sin α_{0}$ est un couple constant : le rotor est accroché. À $3000 tr mi n^{- 1}$ , $ω = 2 π \times 50 rad s^{- 1}$ : l'onduleur délivre $50 Hz$ . Pour $8 N m$ : $sin α_{0} = 8/10, 8 = 0, 741$ , deux solutions, $α_{0} = 47, 8^{\circ}$ ou $132, 2^{\circ}$ . Stabilité : si le rotor prend un peu de retard ( $θ_{R}$ diminue), $α$ augmente. Pour $α_{0} = 47, 8^{\circ}$ , $sin α$ croît avec $α$ : le couple moteur augmente et rattrape le retard, l'équilibre est stable. Pour $132, 2^{\circ}$ , le couple diminue quand le retard augmente : instable, le rotor décroche. Le couple maximal, $E_{0} = 10, 8 N m$ en $α = 9 0^{\circ}$ , dépasse le couple demandé de $35 %$ : le cahier des charges ( $30 %$ ) est respecté.

4) Le démarrage. Le champ fait un demi-tour en $10 ms$ ; pendant ce temps, sous le couple maximal, le rotor parti du repos tourne au plus de $\frac{1}{2} \frac{E _{0}}{J} t^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{10 , 8}{2 \times 1 0 ^{- 3}} \times (1 0^{- 2})^{2} = 0, 27 rad = 1 5^{\circ},$ puis le champ le dépasse et le couple change de signe. Le rotor vibre sur place, de moyenne nulle : un moteur synchrone ne démarre pas seul sur une fréquence fixe. L'onduleur résout le problème en partant d'une fréquence très basse et en l'augmentant progressivement, à partir de la mesure de la position du rotor (« autopilotage ») : le champ statorique ne prend jamais d'avance excessive, l'angle $α$ reste dans la zone stable, et la vitesse se règle par la fréquence.

5) L'induit. Puissance mécanique $P = ΓΩ = 8 \times 314, 16 = 2513 W$ ; avec $P = 2 E I$ (courant en phase avec la fcem) : $I = \frac{2 513}{2 \times 120} = 10, 5 A$ . Diagramme de Fresnel d'une phase, $E$ pour origine des phases : $I$ porté par $E$ , $R_{s} I$ aussi ( $3, 14 V$ ), $j L_{s} ω I$ en quadrature avance ( $L_{s} ω = 1, 57 Ω$ , $16, 4 V$ ) : $V = (120 + 3, 14) + j 16, 4, V = 124 V, cos φ = \frac{123 , 1}{124 , 2} = 0, 991, φ = 7, 6^{\circ} .$

6) Le bilan. Multiplions l'équation de la phase par $I^{*}$ et prenons la partie réelle (puissance moyenne) : $V I cos φ = R_{s} I^{2} + E I$ , le terme $j L_{s} ω I^{2}$ n'absorbant aucune puissance moyenne. Pour la machine : $P_{abs} = 2 V I cos φ = 2 R_{s} I^{2} + 2 E I = 65, 8 + 2513 = 2579 W .$ Si les pertes cuivre sont les seules pertes, la conservation de l'énergie impose que $2 E I$ , la puissance reçue par les fcem, soit la puissance mécanique : $2 E I = ΓΩ$ . Le rendement vaut $2 513/2 579 = 97, 4 %$ . Alternateur : entraîné par une turbine, le rotor prend de l'avance sur le champ statorique ( $α < 0$ ) ; le couple électromagnétique devient résistant, $ΓΩ < 0$ , et $E I cos ψ < 0$ : les fem fournissent de la puissance au réseau. Il faut pour cela que la vitesse soit celle du synchronisme avec la fréquence du réseau.

Les résultats établis — le couple de la machine synchrone et la condition de synchronisme ; l'égalité des puissances. L'énergie de l'entrefer dépend de l'angle $α$ entre le champ glissant statorique et le champ rotorique ; sa dérivée par rapport à la position du rotor donne le couple $Γ = E_{0} sin α$ , de moyenne non nulle seulement si les deux champs tournent à la même vitesse ; l'équilibre est stable pour $0 < α_{0} < π /2$ , et le couple maximal $E_{0}$ fixe le décrochage. Un bilan d'énergie où seules les pertes cuivre sont envisagées montre que la puissance électrique absorbée par les fcem des phases est la puissance mécanique fournie. Le moteur synchrone ne démarre pas sur une fréquence fixe : il lui faut un onduleur.

Ce que le problème installe. L'énergie de l'entrefer par superposition des ondes de champ et intégration ; le couple par dérivation à courants fixés, qui dépend du seul décalage des champs ; le synchronisme et la stabilité lus sur $sin α$ ; l'ordre de grandeur qui interdit le démarrage direct ; et l'induit traité en régime sinusoïdal, avec son diagramme de Fresnel et son bilan de puissance.

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