conversion de puissance (PSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Choisir l'inductance et la fréquence de hachage pour une ondulation imposée

Conversion électronique statique : hacheur, redresseur, onduleur · C. Le hacheur série (dévolteur, buck) · niveau 2

Énoncé

Un hacheur série alimente sous $E = 100 V$ un motoréducteur à courant continu de courant nominal $I_{n} = 10 A$ , d'inductance d'induit $L = 2, 0 mH$ et de constante $K = 0, 30 N m A^{- 1}$ . On veut faire varier la vitesse sur toute la plage $0 \leq α \leq 1$ , et le cahier des charges limite l'ondulation crête à crête du courant à $Δ i_{m a x} = 1, 0 A$ quel que soit $α$ .

1) En négligeant la chute résistive pendant une période, établir $Δ i = \frac{α ( 1 - α ) E}{L f _{h}}$ . Pour quel rapport cyclique l'ondulation est-elle maximale ?

2) En déduire la condition sur le produit $L f_{h}$ , puis la fréquence de hachage minimale avec l'induit seul.

3) Cette fréquence est audible. On choisit $20 kHz$ : que vaut l'ondulation maximale ? Quelle ondulation de couple en résulte ?

4) Autre solution : rester à $5 kHz$ (pertes de commutation plus faibles) et ajouter une inductance de lissage en série. Quelle valeur ? Discuter.

Corrigé

La stratégie. Deux phases, deux pentes ; leur égalité en régime périodique donne la fcem, puis l'ondulation. On cherche ensuite le pire cas en $α$ .

1) L'ondulation. Avec $u = R i + L d i / d t + e$ et $R i$ quasi constant sur une période, la moyenne nulle de $L d i / d t$ donne $e + R ⟨ i ⟩ = α E$ . Phase ON : $L \frac{d i}{d t} = E - α E$ , constante, pendant $α T_{h}$ : $Δ i = \frac{( 1 - α ) E α T _{h}}{L} = \frac{α ( 1 - α ) E}{L f _{h}} .$ $α (1 - α)$ est maximal pour $α = 1/2$ , où il vaut $1/4$ : $Δ i_{m a x} = \frac{E}{4 L f _{h}}$ . L'ondulation est nulle aux extrémités, où l'on ne hache plus.

2) La condition. $\frac{E}{4 L f _{h}} \leq Δ i_{m a x}$ impose $L f_{h} \geq \frac{E}{4Δ i _{m a x}} = \frac{100}{4 \times 1} = 25 H Hz$ . Avec $L = 2 mH$ : $f_{h} \geq 12, 5 kHz$ .

3) À $20 kHz$ . $Δ i_{m a x} = \frac{100}{4 \times 2 \times 1 0 ^{- 3} \times 2 \times 1 0 ^{4}} = 0, 625 A$ , sous le $1 A$ demandé ; hors du domaine audible, le moteur ne siffle pas. Ondulation de couple : $K Δ i = 0, 19 N m$ crête à crête à $20 kHz$ , que l'inertie du rotor filtre sans peine : la vitesse ne la voit pas.

4) L'inductance de lissage. À $5 kHz$ , il faut $L \geq 25/5 000 = 5, 0 mH$ , donc $3, 0 mH$ de plus. On réduit les pertes de commutation des transistors (elles croissent avec $f_{h}$ ), au prix d'une bobine lourde parcourue par $10 A$ , de son coût et de ses pertes Joule, et d'un sifflement audible. Le compromis moderne est la fréquence élevée.

Ce que l'exercice installe. L'ondulation $α (1 - α) E / (L f_{h})$ , établie par les pentes et la moyenne nulle de la dérivée ; le pire cas en $α = 1/2$ , qui dimensionne le produit $L f_{h}$ ; et le compromis fréquence, inductance, bruit, pertes.

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