Lire l'oscillogramme d'un hacheur

Sur un hacheur série alimentant un petit moteur à courant continu sous $E = 48 V$ , un oscilloscope relève la tension $u$ aux bornes du moteur et, par une sonde de courant, le courant $i$ dans l'induit :

1) Lire la période, la fréquence de hachage et le rapport cyclique. Calculer $⟨ u ⟩$ .

2) Calculer $⟨ i ⟩$ et l'ondulation $Δ i$ . Le cahier des charges limite l'ondulation à $20 %$ du courant moyen : est-il respecté ?

3) En utilisant que la valeur moyenne de la tension aux bornes de l'inductance est nulle, et en négligeant la chute résistive pendant une période, exprimer la pente du courant pendant chaque phase. En déduire l'inductance $L$ de l'induit. Vérifier la cohérence des deux pentes.

4) Calculer les courants moyens dans le transistor et dans la diode. Faire le bilan de puissance moyenne entre la source et le moteur.

La stratégie. Tout se lit sur l'écran : durées, niveaux, pentes. Les moyennes de fonctions affines par morceaux se calculent par les aires ; la moyenne nulle de $L d i / d t$ relie les deux phases.

1) Lecture. $T_{h} = 20 μ s$ , $f_{h} = 50 kHz$ ; $t_{ON} = 12 μ s$ , $α = 0, 60$ ; $⟨ u ⟩ = α E = 28, 8 V$ (aire du créneau, $48 \times 12$ , divisée par $20$ ).

2) Courant. Le courant est affine par morceaux entre $I_{m i n} = 4, 2 A$ et $I_{m a x} = 5, 0 A$ : sur chaque phase sa moyenne est $(I_{m i n} + I_{m a x}) /2$ , donc $⟨ i ⟩ = 4, 6 A$ et $Δ i = 0, 8 A$ , soit $17 %$ : le cahier des charges est respecté.

3) L'inductance. Le moteur est modélisé par $R$ , $L$ et sa fcem $e$ : $u = R i + L \frac{d i}{d t} + e$ . En moyenne, $⟨ L d i / d t ⟩ = 0$ (le courant est périodique), d'où $⟨ u ⟩ = R ⟨ i ⟩ + e$ . En négligeant la variation de $R i$ sur une période, $L \frac{d i}{d t} ≃ u - ⟨ u ⟩$ : pendant la phase ON, $L \frac{Δ i}{α T _{h}} = E - ⟨ u ⟩ = 19, 2 V$ , d'où $L = \frac{( E - ⟨ u ⟩) α T _{h}}{Δ i} = \frac{19 , 2 \times 12 \times 1 0 ^{- 6}}{0 , 8} = 288 μ H .$ Phase OFF : $L \frac{Δ i}{( 1 - α ) T _{h}} = ⟨ u ⟩$ donne $\frac{288 \times 1 0 ^{- 6} \times 0 , 8}{8 \times 1 0 ^{- 6}} = 28, 8 V$ : cohérent. La montée vaut $19, 2/288 \times 1 0^{- 6} = 6, 7 \times 1 0^{4} A s^{- 1}$ , la descente $1 0^{5} A s^{- 1}$ ; la variation nette sur une période est nulle.

4) Courants moyens et bilan. Le transistor porte $i$ pendant la phase ON seulement, où $i$ a pour moyenne $4, 6 A$ : $⟨ i_{T} ⟩ = α \times 4, 6 = 2, 76 A$ ; la diode, pendant OFF : $⟨ i_{D} ⟩ = 0, 4 \times 4, 6 = 1, 84 A$ . La source fournit $E ⟨ i_{T} ⟩ = 48 \times 2, 76 = 132, 5 W$ ; le moteur reçoit $⟨ u i ⟩$ , et, comme $u = E$ quand $T$ conduit et $0$ sinon, $⟨ u i ⟩ = E ⟨ i_{T} ⟩$ : $132, 5 W$ aussi (ou, avec l'ondulation négligée, $⟨ u ⟩ ⟨ i ⟩ = 28, 8 \times 4, 6 = 132, 5 W$ ). Les interrupteurs idéaux ne prélèvent rien.

Ce que l'exercice installe. Lire un oscillogramme de hacheur : $α$ , $⟨ u ⟩ = α E$ , $⟨ i ⟩$ et $Δ i$ ; la moyenne nulle de la dérivée d'une grandeur périodique, qui donne les pentes et l'inductance ; les moyennes de fonctions affines par morceaux pour les courants des interrupteurs ; et le bilan de puissance moyenne.

Énoncé

Corrigé

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