conversion de puissance (PSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Problème : la locomotive à hacheur, ou comment démarrer 1 000 A sous 1 500 V sans rhéostat

Conversion électronique statique : hacheur, redresseur, onduleur · C. Le hacheur série (dévolteur, buck) · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une locomotive à courant continu, alimentée par une caténaire de $E = 1500 V$ , entraîne ses moteurs à courant continu par un hacheur série. On raisonne sur un moteur équivalent (valeurs arrondies, données de l'énoncé) : résistance d'induit $R = 0, 050 Ω$ , constante $K = 6, 0 V s ra d^{- 1}$ , courant nominal $I_{n} = 1000 A$ , inductance totale du circuit (induit et inductance de lissage) $L = 5, 0 mH$ , fréquence de hachage $f_{h} = 300 Hz$ . Exigences : démarrer à courant nominal, et garder l'ondulation crête à crête du courant sous $20 %$ du courant nominal.

1) Justifier le choix d'un interrupteur commandé $T$ et d'une diode de roue libre $D$ pour alimenter le moteur, qui tourne dans un seul sens et absorbe un courant positif. Tracer les chronogrammes de $u$ , $i$ , $i_{T}$ et $i_{D}$ en conduction continue.

2) En utilisant que la valeur moyenne de $L d i / d t$ est nulle en régime périodique établi, établir la loi du hacheur série $⟨ u ⟩ = α E$ , puis $⟨ i ⟩ = \frac{α E - K Ω}{R}$ . Par un bilan de puissance moyenne, établir $⟨ i_{E} ⟩ = α ⟨ i ⟩$ .

3) Au démarrage ( $Ω = 0$ ), quel rapport cyclique donne le courant nominal ? Quel courant la caténaire fournit-elle ? Comparer avec un démarrage par rhéostat : quelle puissance celui-ci dissiperait-il ?

4) À $α = 0, 90$ et au courant nominal : vitesse de rotation, puissance prise à la caténaire.

5) Établir l'ondulation $Δ i = \frac{α ( 1 - α ) E}{L f _{h}}$ (chute résistive négligée sur une période). Calculer sa valeur maximale. L'exigence est-elle remplie ? Quelle inductance faut-il ? Calculer alors $Δ i$ pour $α = 0, 033$ , $0, 5$ et $0, 9$ .

6) Sous quel courant moyen la conduction devient-elle discontinue à mi-course ( $α = 0, 5$ ) ? Énoncer les résultats établis.

Corrigé

La stratégie. Le hacheur relie une source de tension (la caténaire, avec son filtre) à une source de courant (l'induit et son inductance) : une cellule de commutation. On écrit les deux phases, on moyenne en utilisant la moyenne nulle de la dérivée, on fait le bilan de puissance ; l'ondulation vient des pentes.

1) Les interrupteurs et les chronogrammes. Le moteur absorbe $i > 0$ ; la caténaire $E > 0$ . Comme dans toute cellule à courant positif : $T$ , commandé à la fermeture et à l'ouverture, conduit $i > 0$ et bloque $E$ ; $D$ conduit spontanément le courant de l'inductance quand $T$ s'ouvre (la règle « ne jamais ouvrir une source de courant ») et se bloque quand $T$ se referme. Chronogrammes : $u = E$ et $i_{T} = i$ , $i_{D} = 0$ pendant $[0, α T_{h} [$ ; $u = 0$ , $i_{T} = 0$ , $i_{D} = i$ pendant $[α T_{h}, T_{h} [$ ; $i$ croît pendant la première phase et décroît pendant la seconde, en dents de scie.

(Allure tracée pour $α = 0, 5$ avec l'inductance de la question 5.)

2) La loi du hacheur. Phase ON : $E = R i + L \frac{d i}{d t} + K Ω$ ; phase OFF : $0 = R i + L \frac{d i}{d t} + K Ω$ . Soit $u = R i + L \frac{d i}{d t} + K Ω$ avec $u = E$ ou $0$ . On moyenne sur une période : $⟨ u ⟩ = α E$ (aire du créneau sur la période), $⟨ L \frac{d i}{d t} ⟩ = \frac{L}{T _{h}} [i (T_{h}) - i (0)] = 0$ en régime périodique, et la vitesse est constante à l'échelle de $T_{h}$ (inertie) : $⟨ u ⟩ = α E, ⟨ i ⟩ = \frac{α E - K Ω}{R} .$ Bilan de puissance moyenne : la caténaire fournit $E ⟨ i_{E} ⟩$ avec $i_{E} = i_{T}$ ; le moteur et son inductance reçoivent $⟨ u i ⟩ = E ⟨ i_{T} ⟩$ ; en négligeant l'ondulation, $⟨ u i ⟩ ≃ ⟨ u ⟩ ⟨ i ⟩ = α E ⟨ i ⟩$ , d'où $⟨ i_{E} ⟩ = α ⟨ i ⟩$ .

3) Le démarrage. À l'arrêt, $K Ω = 0$ , et $⟨ i ⟩ = I_{n}$ exige $α_{0} = \frac{R I _{n}}{E} = \frac{50}{1 500} = 0, 033$ . La caténaire ne fournit que $⟨ i_{E} ⟩ = α_{0} I_{n} = 33 A$ , soit $50 kW$ , exactement les pertes Joule de l'induit. Un rhéostat, lui, ferait tomber $E - R I_{n} = 1450 V$ sous $1000 A$ : $1, 45 MW$ brûlés au démarrage, puis de moins en moins à mesure qu'on l'élimine. Le hacheur démarre à fort couple ( $K I_{n} = 6000 N m$ ) en ne prenant à la ligne que ce qui sert.

4) En marche. $Ω = \frac{α E - R I _{n}}{K} = \frac{1 350 - 50}{6} = 217 rad s^{- 1}$ ; la caténaire fournit $⟨ i_{E} ⟩ = 0, 9 \times 1000 = 900 A$ , soit $1, 35 MW$ , dont $50 kW$ de pertes Joule et $1, 30 MW$ convertis.

5) L'ondulation. La chute $R i$ variant peu sur une période, la question 2 donne $K Ω + R ⟨ i ⟩ = α E$ et, pendant la phase ON, $L \frac{d i}{d t} ≃ E - α E$ pendant $α T_{h}$ : $Δ i = \frac{α ( 1 - α ) E}{L f _{h}}, Δ i_{m a x} = \frac{E}{4 L f _{h}} = \frac{1 500}{4 \times 5 \times 1 0 ^{- 3} \times 300} = 250 A,$ $25 %$ du courant nominal : l'exigence ( $20 %$ , soit $200 A$ ) n'est pas remplie. Il faut $L \geq \frac{E}{4 f _{h} \times 200} = 6, 25 mH$ , soit $1, 25 mH$ de lissage supplémentaire. Avec $6, 25 mH$ : $Δ i = 26 A$ au démarrage ( $α = 0, 033$ ), $200 A$ à mi-course, $72 A$ à $α = 0, 9$ .

6) Conduction discontinue. Le courant est en dents de scie autour de sa moyenne, entre $⟨ i ⟩ - Δ i /2$ et $⟨ i ⟩ + Δ i /2$ ; il s'annule (et la diode se bloque avant la fin de la période) si $⟨ i ⟩ < Δ i /2$ , soit, à mi-course, sous $100 A$ : les formules de conduction continue ne valent plus, la vitesse ne suit plus la loi $α E$ . À faible charge, on hache à fréquence plus élevée ou l'on accepte ce régime.

Les résultats établis — la loi du hacheur série et l'ondulation du courant. En régime périodique établi et en conduction continue, la valeur moyenne de la tension appliquée par un hacheur série vaut $⟨ u ⟩ = α E$ , ce qui se démontre en moyennant la loi des mailles, la moyenne de $L d i / d t$ étant nulle ; le bilan de puissance moyenne donne $⟨ i_{E} ⟩ = α ⟨ i ⟩$ . Pour un hachage à haute fréquence, le courant est affine par morceaux et son ondulation vaut $Δ i = \frac{α ( 1 - α ) E}{L f _{h}}$ , maximale pour $α = 1/2$ . La locomotive démarre ainsi à $1000 A$ en ne prenant que $33 A$ à la caténaire.

Ce que le problème installe. Le choix des interrupteurs d'une cellule de commutation ; la moyenne nulle de la dérivée qui donne $⟨ u ⟩ = α E$ ; le bilan de puissance moyenne qui relie courants d'entrée et de sortie ; l'ondulation et son pire cas, qui dimensionnent l'inductance de lissage ; et la limite de la conduction continue.

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