Combien d'équations, quelles inconnues ?

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 1 — Charge, courant, tension : les circuits dans l'ARQS

Énoncé

Un réseau électrique est formé de $n$ nœuds reliés par $b$ branches ; chaque branche contient un dipôle dont la relation entre tension et intensité est connue (résistance, source idéale de tension…). Le réseau est d'un seul tenant (on peut aller de tout nœud à tout autre en suivant des branches).

1) On considère le pont suivant : quatre nœuds $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ; une source entre $D$ et $A$ ; des résistances entre $A$ et $B$ , $A$ et $C$ , $B$ et $D$ , $C$ et $D$ ; un appareil de mesure (une résistance) entre $B$ et $C$ . Compter les nœuds et les branches. On prend pour inconnues les $b$ intensités de branche : combien d'équations faut-il ? Écrire les lois des nœuds en $A$ , $B$ , $C$ et $D$ , et montrer qu'elles ne sont pas indépendantes.

2) Dans un réseau quelconque, montrer que les $n$ lois des nœuds ont une somme identiquement nulle, et admettre qu'en retirer une suffit à les rendre indépendantes. Combien de lois des mailles indépendantes faut-il alors ? On admet le résultat suivant : on peut choisir $n - 1$ branches, appelées un arbre, qui relient tous les nœuds sans former aucune boucle ; chacune des autres branches ferme alors exactement une maille avec des branches de l'arbre. En déduire le nombre de mailles indépendantes, et le vérifier sur le pont.

3) Deux autres choix d'inconnues sont possibles. (a) On attribue un courant de maille à chacune des mailles indépendantes, le courant d'une branche étant la somme algébrique des courants de maille qui la parcourent : quelle loi est alors automatiquement satisfaite, et combien reste-t-il d'équations ? (b) On prend pour inconnues les potentiels des nœuds, l'un d'eux étant fixé à zéro : quelle loi est automatiquement satisfaite, et combien reste-t-il d'équations ?

4) Faire le décompte des trois méthodes pour le pont, puis pour un réseau de $5$ nœuds où chaque nœud est relié à chacun des quatre autres. Quel est le meilleur choix dans chaque cas ?

Corrigé

La stratégie. Avant de résoudre, on compte : un système bien posé a autant d'équations indépendantes que d'inconnues. Le compte dépend du choix des inconnues, et un bon choix rend l'une des deux lois de Kirchhoff automatiquement vraie.

1) Le pont. Quatre nœuds ( $n = 4$ ), six branches ( $b = 6$ ) : $D A$ (la source), $A B$ , $A C$ , $B D$ , $C D$ et $B C$ (l'appareil). Avec les six intensités de branche pour inconnues, il faut six équations indépendantes. On oriente chaque branche dans l'ordre où elle est écrite ( $i_{D A}$ de $D$ vers $A$ , $i_{A B}$ de $A$ vers $B$ , etc.) et l'on compte positivement les courants entrants :

$A : i_{D A} - i_{A B} - i_{A C} = 0, B : i_{A B} - i_{B D} - i_{B C} = 0,$

$C : i_{A C} + i_{B C} - i_{C D} = 0, D : i_{B D} + i_{C D} - i_{D A} = 0.$

En les additionnant, chaque intensité apparaît deux fois, une fois entrante (au nœud d'arrivée de sa branche) et une fois sortante (au nœud de départ) : la somme est identiquement nulle. La loi en $D$ est donc conséquence des trois autres ; on n'a que trois lois des nœuds indépendantes.

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