Le cube de résistances

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 1 — Charge, courant, tension : les circuits dans l'ARQS · D. Les lois de Kirchhoff

Énoncé

Douze résistances identiques $R$ forment les arêtes d'un cube. On fait entrer un courant $I$ en un sommet $A$ et sortir en un sommet $B$ ; on appelle résistance vue entre $A$ et $B$ le rapport $R_{A B} = (V_{A} - V_{B}) / I$ . On rappelle $u = R i$ pour chaque arête.

1) $B$ est le sommet opposé à $A$ (grande diagonale du cube). Par un argument de symétrie, montrer que les trois arêtes issues de $A$ portent le même courant, et de même pour celles qui aboutissent en $B$ . En déduire le courant dans chacune des six arêtes restantes, puis $R_{A B} = \frac{5}{6} R$ par la loi des mailles le long d'un chemin de $A$ à $B$ .

2) $B$ est le sommet opposé à $A$ sur une même face (diagonale de face). Identifier quatre sommets au même potentiel ; montrer que deux arêtes ne portent aucun courant ; établir $R_{A B} = \frac{3}{4} R$ .

3) $A$ et $B$ sont voisins (reliés par une arête). Établir $R_{A B} = \frac{7}{12} R$ .

4) Vérifier le classement des trois résultats par un argument physique.

Corrigé

La stratégie. Huit nœuds et douze branches : la méthode des potentiels de nœuds demanderait sept inconnues. On utilise plutôt les symétries du réseau : une transformation du cube qui conserve $A$ , $B$ et le réseau conserve aussi la répartition des courants (la solution est unique), donc deux points échangés par une telle symétrie sont au même potentiel. Il existe aussi une antisymétrie : une transformation qui échange $A$ et $B$ renverse le sens de tous les courants, et transforme le potentiel $V$ en $V_{A} + V_{B} - V$ .

On repère les sommets par leurs coordonnées : $A = (0, 0, 0)$ , et les sommets voisins diffèrent d'une seule coordonnée.

1) La grande diagonale, $B = (1, 1, 1)$ . Une rotation d'un tiers de tour autour de la diagonale $A B$ conserve le cube, $A$ et $B$ , et permute circulairement les trois voisins de $A$ , $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ , $(0, 0, 1)$ . Ils sont donc au même potentiel et les trois arêtes issues de $A$ portent chacune $I /3$ . Même chose pour les trois voisins de $B$ , qui reçoivent chacun $I /3$ de leur côté. Chaque voisin de $A$ reçoit $I /3$ et le répartit, toujours par symétrie (une réflexion qui conserve $A$ , $B$ et ce voisin échange ses deux autres arêtes), en deux courants égaux : chacune des six arêtes « du milieu » porte $I /6$ . Le long du chemin $A \to (1, 0, 0) \to (1, 1, 0) \to B$ , en suivant le sens des courants : $V_{A} - V_{B} = R \frac{I}{3} + R \frac{I}{6} + R \frac{I}{3} = \frac{5}{6} R I, R_{A B} = \frac{5}{6} R \approx 0, 833 R .$ Contrôle par la loi des nœuds. En $(1, 1, 0)$ , voisin de $B$ , arrivent deux courants $I /6$ , et part $I /3$ vers $B$ : $I /6 + I /6 = I /3$ .

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