Le triphasé : 230 V, 400 V et pas de neutre

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 1 — Charge, courant, tension : les circuits dans l'ARQS · D. Les lois de Kirchhoff

Énoncé

Le réseau électrique distribue trois phases, de potentiels par rapport au neutre $N$ $v_{k} (t) = V 2 cos (ω t - \frac{2 ( k - 1 ) π}{3}), k = 1, 2, 3,$ avec $V = 230 V$ et $f = 50 Hz$ . Trois résistances identiques $R$ sont branchées chacune entre une phase et un point commun $O$ , lui-même relié au neutre par un fil. Elles sont parcourues par les courants $i_{k} (t) = I 2 cos (ω t - \frac{2 ( k - 1 ) π}{3})$ , avec $I = V / R$ , orientés des phases vers $O$ .

1) Montrer que $cos a + cos (a - \frac{2 π}{3}) + cos (a + \frac{2 π}{3}) = 0$ pour tout réel $a$ . Écrire la loi des nœuds en $O$ : que vaut le courant dans le fil de neutre ? Conséquence pratique ?

2) La tension entre deux phases (« tension composée ») est $u_{12} = v_{1} - v_{2}$ . Montrer que son amplitude vaut $3 V 2$ ; calculer sa valeur efficace. D'où vient la mention « $230/400 V$ » ?

3) On débranche la résistance de la phase 3. Que vaut maintenant l'amplitude du courant dans le neutre ?

4) Calculer la puissance instantanée totale $p (t) = \sum_{k} v_{k} i_{k}$ reçue par les trois résistances. Comparer à la puissance instantanée $v_{1} i_{1}$ reçue par une seule résistance alimentée en monophasé. Pourquoi le triphasé est-il préféré pour alimenter les gros moteurs ?

Corrigé

La stratégie. Les lois de Kirchhoff valent à chaque instant dans l'ARQS (au secteur, largement vérifiée). Les grandeurs sont ici des fonctions du temps : on écrit les lois pour des grandeurs algébriques variables, et l'on calcule avec la trigonométrie.

1) Le neutre ne porte rien. Par la formule d'addition, $cos (a - \frac{2 π}{3}) + cos (a + \frac{2 π}{3}) = 2 cos a cos \frac{2 π}{3} = - cos a$ , puisque $cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ . La somme des trois cosinus est donc nulle. (Les déphasages $- \frac{4 π}{3}$ et $+ \frac{2 π}{3}$ sont égaux à $2 π$ près, ce qui permet d'écrire la troisième phase avec $+ \frac{2 π}{3}$ .) La loi des nœuds en $O$ , avec $i_{N}$ le courant qui part de $O$ vers le neutre : $i_{N} = i_{1} + i_{2} + i_{3} = I 2 [cos (ω t) + cos (ω t - \frac{2 π}{3}) + cos (ω t - \frac{4 π}{3})] = 0.$ Le fil de neutre ne transporte aucun courant quand les trois charges sont identiques : on peut le supprimer. Trois fils suffisent alors à transporter ce qui demanderait six fils en trois circuits monophasés indépendants — c'est l'économie qui justifie le triphasé sur les lignes de transport.

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Gratuit : il suffit de créer un compte (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe), et tu arrives directement sur le corrigé.

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.