Les électrons vont au pas

Un fil de cuivre de section $S=1,5\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ (installation domestique) est parcouru par un courant continu $I=16\mathrm{A}$. Le cuivre a une masse volumique $\rho =8,96\times 10^3\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$ et une masse molaire $M=63,5\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ ; chaque atome libère un électron de conduction. On donne $e=1,6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ et $N_A=6,02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$.

1) Calculer la densité volumique $n$ d'électrons de conduction. On note $v$ la vitesse moyenne (dite « de dérive ») des électrons le long du fil. En comptant la charge qui traverse une section droite pendant une durée $\mathrm{d}t$, établir $I=nevS$. Calculer $v$.

2) Combien de temps un électron met-il à parcourir les $10\mathrm{m}$ de fil qui séparent l'interrupteur de la lampe ? Pourquoi la lampe s'allume-t-elle pourtant « instantanément » ? On admet que le signal électrique se propage dans le câble à $v_s\approx 2\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

3) Le courant est maintenant alternatif, $i(t)=I\sqrt{2}\cos (\omega t)$, avec $I=16\mathrm{A}$ et $f=50\mathrm{Hz}$. Quelle est l'amplitude du déplacement d'un électron ? Commenter.

4) Combien d'électrons traversent une section en $1\mathrm{ns}$ pour $I=16\mathrm{A}$ ? Le nombre $N$ d'électrons qui passent pendant une durée donnée fluctue d'une mesure à l'autre ; on admet que sa fluctuation relative vaut $1/\sqrt{N}$. Évaluer cette fluctuation. Même question pour un courant de $1\mathrm{pA}$ (photodétecteur faiblement éclairé) observé pendant $1\mathrm{ms}$. Quand peut-on traiter la charge comme une grandeur continue ?