Loi des nœuds et conservation de la charge

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 1 — Charge, courant, tension : les circuits dans l'ARQS · D. Les lois de Kirchhoff

Énoncé

1) Soit une surface fermée $Σ$ , traversée par des fils parcourus par les intensités $i_{k}$ comptées positivement vers l'intérieur, et $Q_{int} (t)$ la charge contenue à l'intérieur de $Σ$ . Écrire la conservation de la charge entre $t$ et $t + d t$ . À quelle condition retrouve-t-on la loi des nœuds ?

2) On entoure une seule armature d'un condensateur, qui porte la charge $q (t)$ . Le courant dans le fil qui y arrive est-il nul ? Y a-t-il contradiction avec la loi des nœuds ?

3) On entoure maintenant tout le condensateur, armatures $+ q$ et $- q$ . Montrer que le courant qui entre par un fil est égal à celui qui sort par l'autre. Pourquoi a-t-on le droit de traiter le condensateur comme un dipôle ?

4) Une ligne aérienne à très haute tension, de longueur $ℓ = 100 km$ , est portée au potentiel $u (t) = U_{m} cos (ω t)$ par rapport à la terre, avec $U_{m} = 3, 3 \times 1 0^{5} V$ et $f = 50 Hz$ . Le conducteur porte une charge $q (t) = Γ u (t)$ , répartie sur sa longueur, où $Γ = γ ℓ$ avec $γ = 10 nF k m^{- 1}$ (capacité de la ligne par rapport à la terre). Vérifier que l'ARQS est satisfaite. Exprimer, puis calculer, l'amplitude de $i_{entr e ˊ e} - i_{sortie}$ . Comparer au courant nominal de la ligne, de l'ordre de $1 0^{3} A$ .

5) Pour un câble souterrain ou sous-marin, $γ$ vaut $0, 2 μ F k m^{- 1}$ . Refaire le calcul pour $100 km$ . Pourquoi les longues liaisons enterrées ou sous-marines (par exemple sous la Manche, entre la France et l'Angleterre) fonctionnent-elles en courant continu ?

Corrigé

La stratégie. La loi des nœuds n'est pas un axiome : c'est la conservation de la charge appliquée à une surface qui n'en contient pas, ou dont la charge ne varie pas. On écrit donc le bilan général, puis on regarde ce qu'il devient dans chaque situation.

1) Le bilan de charge. La charge ne se crée ni ne se détruit ; celle qui est dans $Σ$ ne varie que par ce qui entre ou sort par les fils. Entre $t$ et $t + d t$ , il entre par le fil $k$ la charge $i_{k} d t$ (algébrique : négative si le courant sort). Donc $Q_{int} (t + d t) - Q_{int} (t) = k \sum i_{k} d t, soit \frac{d Q _{int}}{d t} = k \sum i_{k} .$ On retrouve la loi des nœuds, $\sum_{k} i_{k} = 0$ , si et seulement si la charge intérieure ne varie pas. Pour un nœud (une simple jonction de fils, sans accumulation de charge), c'est le cas ; c'est aussi le cas pour toute surface qui entoure un dipôle neutre dans son ensemble.

2) Une armature seule. La surface contient une armature, de charge $q (t)$ , et un seul fil la traverse. Le bilan donne $i = d q / d t$ : le courant n'est pas nul dès que la charge varie. Il n'y a aucune contradiction : une armature n'est pas un nœud, c'est un endroit où la charge s'accumule. La loi des nœuds ne s'y applique pas, la conservation de la charge si.

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