Problème : les potentiels de nœuds et le théorème de Millman

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 1 — Charge, courant, tension : les circuits dans l'ARQS · D. Les lois de Kirchhoff

Énoncé

On rappelle : une résistance en convention récepteur vérifie $u = R i$ ; une source idéale de tension de force électromotrice $E$ impose $V_{+} - V_{-} = E$ entre ses bornes, quel que soit le courant qui la traverse. On appelle conductance d'une résistance la grandeur $G = 1/ R$ .

Un nœud $A$ est relié à un nœud de référence $M$ (la masse, $V_{M} = 0$ ) par $N$ branches. La branche $k$ est formée d'une source idéale de force électromotrice $E_{k}$ en série avec une résistance $R_{k}$ , la borne $+$ de la source étant du côté de $A$ ; on note $i_{k}$ son courant, compté de $M$ vers $A$ à travers la branche. Une branche réduite à une résistance (une « charge ») correspond à $E_{k} = 0$ .

1) Par la loi des mailles, montrer que $i_{k} = \frac{E _{k} - V _{A}}{R _{k}}$ . Interpréter le signe de $i_{k}$ .

2) Écrire la loi des nœuds en $A$ et en déduire $V_{A} = \frac{\sum _{k} E _{k} / R _{k}}{\sum _{k} 1/ R _{k}} .$ Combien d'équations a-t-on écrites, combien en aurait-il fallu avec les courants de branche pour inconnues ?

3) Interpréter $V_{A}$ comme une moyenne pondérée ; en déduire un encadrement de $V_{A}$ . Vérifier l'homogénéité. Examiner les cas limites : une résistance $R_{j} \to 0$ ; une résistance $R_{k} \to \infty$ ; toutes les $E_{k}$ égales en l'absence de charge ; deux branches seulement, l'une $(E, R_{1})$ , l'autre $(0, R_{2})$ .

4) Batteries en parallèle. Trois batteries de $12 V$ (modèle source idéale et résistance) sont branchées en parallèle : $E_{1} = 12, 7 V$ , $R_{1} = 0, 020 Ω$ (chargée) ; $E_{2} = 12, 5 V$ , $R_{2} = 0, 025 Ω$ ; $E_{3} = 12, 1 V$ , $R_{3} = 0, 040 Ω$ (en partie déchargée). Calculer $V_{A}$ et les trois courants, d'abord sans charge, puis avec une charge $R = 1, 2 Ω$ . Commenter.

5) Un tramway entre deux sous-stations. La ligne aérienne d'un tramway est alimentée en continu par deux sous-stations $S_{1}$ et $S_{2}$ distantes de $L = 2 km$ , modélisées chacune par une source $E = 750 V$ en série avec $r_{s} = 0, 03 Ω$ . Le circuit « ligne aérienne + rails de retour » a une résistance de l'ordre de $λ = 0, 1 Ω$ par kilomètre de voie. Une rame, à l'abscisse $x$ comptée depuis $S_{1}$ , est modélisée par une résistance $R_{T} = 1, 0 Ω$ . Exprimer le potentiel $V_{T} (x)$ de la ligne au droit de la rame (les rails étant la référence). Montrer que la position la plus défavorable est le milieu ; calculer $V_{T}$ en $x = 0$ et en $x = L /2$ , puis la puissance reçue par la rame. Comparer à une alimentation par une seule sous-station, la rame étant à $2 km$ de celle-ci.

6) Deux rames : un réseau à deux nœuds inconnus. Une rame $T_{1}$ , qui roule sur l'erre ( $R_{1} = 2, 0 Ω$ ), est en $x_{1} = 0, 5 km$ ; une rame $T_{2}$ , qui accélère ( $R_{2} = 0, 5 Ω$ ), est en $x_{2} = 1, 5 km$ . Les nœuds inconnus sont les points de la ligne au droit des rames. Montrer que la relation de la question 2 se généralise à un nœud relié à d'autres nœuds de potentiels inconnus. En déduire que, dans un réseau de $n$ nœuds dont l'un sert de référence, prendre les potentiels pour inconnues rend la loi des mailles automatique et laisse $n - 1$ équations (une loi des nœuds par nœud inconnu) pour $n - 1$ inconnues. Écrire cette relation en chacun des deux nœuds, résoudre, et faire le bilan de puissance. Énoncer le théorème obtenu.

Corrigé

1) Le courant d'une branche en fonction du potentiel de son extrémité. Parcourons la branche $k$ de $M$ vers $A$ , dans le sens de $i_{k}$ . La source élève le potentiel de $E_{k}$ (on va de sa borne $-$ à sa borne $+$ ) ; la résistance, traversée dans le sens du courant, l'abaisse de $R_{k} i_{k}$ (convention récepteur, $u = R i$ ). La loi des mailles — ici la relation de Chasles le long de la branche — donne $V_{A} - V_{M} = E_{k} - R_{k} i_{k}, d’o u ˋ i_{k} = \frac{E _{k} - V _{A}}{R _{k}} .$ Le signe. $i_{k} > 0$ si et seulement si $E_{k} > V_{A}$ : la branche débite vers $A$ quand sa force électromotrice dépasse le potentiel du nœud. Dans le cas contraire, le courant la traverse à l'envers, et la source de la branche reçoit de la puissance : une batterie dans ce cas est rechargée.

2) La loi des nœuds devient une formule. Tous les $i_{k}$ sont comptés vers $A$ ; la loi des nœuds en $A$ s'écrit $\sum_{k} i_{k} = 0$ , soit, avec la question 1, $k \sum \frac{E _{k} - V _{A}}{R _{k}} = 0 ⟺ V_{A} k \sum \frac{1}{R _{k}} = k \sum \frac{E _{k}}{R _{k}} ⟺ V_{A} = \frac{\sum _{k} E _{k} / R _{k}}{\sum _{k} 1/ R _{k}} .$ On a écrit une seule équation, pour une seule inconnue $V_{A}$ — le réseau a deux nœuds, donc $n - 1 = 1$ potentiel inconnu. Avec les courants de branche pour inconnues, il aurait fallu $N$ équations : une loi des nœuds et $N - 1$ lois des mailles. La loi des mailles n'a pas disparu : elle est déjà dans l'expression de chaque $i_{k}$ (question 1), et c'est pourquoi on ne l'écrit plus.

3) Une moyenne pondérée. Avec les conductances $G_{k} = 1/ R_{k} > 0$ , $V_{A} = \frac{\sum _{k} G _{k} E _{k}}{\sum _{k} G _{k}}$ est la moyenne des forces électromotrices pondérée par les conductances — le barycentre des $E_{k}$ affectés des poids $G_{k}$ . Donc $k min E_{k} \leq V_{A} \leq k max E_{k},$ en comptant les charges ( $E_{k} = 0$ ) parmi les branches : le potentiel du nœud est toujours compris entre la plus petite et la plus grande des forces électromotrices qui y aboutissent, et la branche de plus grande conductance « tire » le plus fort.

Homogénéité. Numérateur en volts par ohm, dénominateur en un par ohm : le quotient est en volts.

Cas limites.

$R_{j} \to 0$ : $G_{j} \to \infty$ écrase tous les autres poids, et $V_{A} \to E_{j}$ . Une source idéale (sans résistance) impose son potentiel au nœud, quoi qu'on y branche.
$R_{k} \to \infty$ : $G_{k} \to 0$ , la branche disparaît de la formule — elle est ouverte, elle ne porte aucun courant.
Toutes les $E_{k}$ égales à $E$ , sans charge : $V_{A} = E$ , et chaque $i_{k} = 0$ . Des sources identiques en parallèle ne se débitent pas les unes dans les autres.
Deux branches $(E, R_{1})$ et $(0, R_{2})$ : $V_{A} = \frac{E / R _{1}}{1/ R _{1} + 1/ R _{2}} = \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} E$ . C'est la formule du diviseur de tension, que le chapitre suivant établira autrement : elle est un cas particulier de la formule de Millman.

4) Des batteries en parallèle. Conductances : $G_{1} = 50 S$ , $G_{2} = 40 S$ , $G_{3} = 25 S$ (le siemens, $S$ , est l'unité de conductance, $1 S = 1 Ω^{- 1}$ ).

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