Qui charge qui ? Les câbles de démarrage

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 1 — Charge, courant, tension : les circuits dans l'ARQS

Énoncé

Pour faire démarrer une voiture dont la batterie est faible, on la relie, par deux câbles, à la batterie d'une autre voiture : borne positive à borne positive, borne négative à borne négative. On modélise chaque batterie par une source idéale de tension en série avec une résistance (modèle donné ici, justifié au chapitre suivant) : la batterie $A$ (en bon état) a pour force électromotrice $E_{A} = 12, 6 V$ et pour résistance interne $r_{A} = 0, 02 Ω$ ; la batterie $B$ (faible) a $E_{B} = 11, 8 V$ et $r_{B} = 0, 05 Ω$ . Les deux câbles ont une résistance totale $r_{c} = 0, 01 Ω$ . On rappelle $u = R i$ pour une résistance en convention récepteur.

1) Le démarreur n'est pas actionné. Orienter le courant $i$ dans la boucle, de la borne positive de $A$ vers la borne positive de $B$ à travers le câble. Calculer $i$ par la loi des mailles. Quel est le signe de $i$ , et que signifie-t-il ? Calculer la tension aux bornes de chaque batterie.

2) Faire le bilan de puissance : puissance fournie par la source idéale de $A$ , reçue par celle de $B$ , dissipée dans les résistances. Vérifier la cohérence. Quel est le rôle de chaque batterie ?

3) On actionne le démarreur, modélisé par une résistance $R_{d} = 0, 06 Ω$ branchée aux bornes de $B$ . On appelle $i_{A}$ le courant débité par $A$ et $i_{B}$ celui débité par $B$ , tous deux orientés vers le démarreur (convention générateur pour chaque batterie). Exprimer le courant dans le démarreur, écrire deux lois des mailles et résoudre. Calculer la tension aux bornes du démarreur. Comparer au cas où $B$ serait seule.

4) Pour quelles valeurs de $R_{d}$ la batterie $B$ est-elle encore rechargée ? Vérifier que le cas limite $R_{d} \to \infty$ redonne la question 1.

Corrigé

La stratégie. On oriente avant de calculer, sans chercher à deviner le sens réel des courants ; on écrit les lois de Kirchhoff avec ces orientations ; le signe du résultat dit ensuite qui fournit et qui reçoit. Il n'y a rien à deviner : tout se lit.

1) Sans démarreur : une seule boucle. La boucle comprend la source $E_{A}$ , la résistance $r_{A}$ , le câble $r_{c}$ , la résistance $r_{B}$ et la source $E_{B}$ ; les bornes positives sont reliées entre elles, si bien que les deux sources sont en opposition le long de la boucle. Parcourons la boucle dans le sens de $i$ , de la borne positive de $A$ vers celle de $B$ par le câble. Dans ce sens, la source de $A$ élève le potentiel de $E_{A}$ , celle de $B$ l'abaisse de $E_{B}$ , et chaque résistance traversée dans le sens du courant l'abaisse de $R i$ . La loi des mailles s'écrit

$E_{A} - E_{B} - (r_{A} + r_{c} + r_{B}) i = 0, i = \frac{E _{A} - E _{B}}{r _{A} + r _{c} + r _{B}} = \frac{0 , 8}{0 , 08} = 10 A .$

Le signe est positif : le courant circule bien dans le sens choisi, il sort par la borne positive de $A$ et entre par la borne positive de $B$ . Aux bornes de $A$ , la tension vaut $E_{A} - r_{A} i = 12, 6 - 0, 2 = 12, 4 V$ ; aux bornes de $B$ , $E_{B} + r_{B} i = 11, 8 + 0, 5 = 12, 3 V$ ; les $0, 1 V$ d'écart sont perdus dans les câbles.

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