Adaptation ou rendement ?

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 2 — Dipôles linéaires, énergie et associations

Énoncé

Une source de Thévenin, de force électromotrice $E$ et de résistance interne $r$ , alimente une résistance de charge $R$ . On pose $x = R / r$ .

1) Exprimer la puissance $P$ reçue par la charge. Montrer qu'elle est maximale pour $R = r$ et exprimer $P_{max}$ . Écrire $P / P_{max}$ en fonction de $x$ seul.

2) On appelle rendement $η$ le rapport de la puissance reçue par la charge à la puissance fournie par la source idéale $E$ . Exprimer $η$ en fonction de $x$ . Que vaut-il à l'adaptation ? Quelle valeur de $x$ faut-il pour $η \geq 90 %$ , et quelle fraction de $P_{max}$ reçoit-on alors ?

3) Montrer que deux charges $R_{1} \neq = R_{2}$ reçoivent la même puissance si et seulement si $R_{1} R_{2} = r^{2}$ . Interpréter.

4) Application : un GBF de résistance de sortie $r = 50 Ω$ et de force électromotrice $E = 10 V$ (tension continue, pour simplifier). Calculer $P_{max}$ . Pourquoi, en revanche, ni le réseau électrique domestique ni un amplificateur audio ne cherchent l'adaptation ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La loi des mailles, $P = R i^{2}$ pour une résistance, l'étude d'une fonction d'une variable. La stratégie : adimensionner le problème par $x = R / r$ , ce qui fait apparaître une courbe universelle, la même pour toutes les sources.

1) La puissance et son maximum. Le courant vaut $i = \frac{E}{R + r}$ , d'où

$P = R i^{2} = \frac{E ^{2} R}{( R + r ) ^{2}} .$

Dérivons par rapport à $R$ :

$\frac{d P}{d R} = E^{2} \frac{( R + r ) ^{2} - 2 R ( R + r )}{( R + r ) ^{4}} = E^{2} \frac{r - R}{( R + r ) ^{3}} .$

Cette dérivée est positive pour $R < r$ , nulle en $R = r$ , négative pour $R > r$ : $P$ est maximale pour $R = r$ , et $P_{max} = \frac{E ^{2}}{4 r}$ . En divisant :

$\frac{P}{P _{max}} = \frac{4 R r}{( R + r ) ^{2}} = \frac{4 x}{( 1 + x ) ^{2}} .$

Cas limites : la puissance est nulle en court-circuit ( $R = 0$ , tension nulle) et à vide ( $R \to \infty$ , courant nul) ; il y a donc forcément un maximum entre les deux.

2) Le rendement. La source idéale fournit $E i$ , la charge reçoit $R i^{2} = R i \cdot i$ , et $E = (R + r) i$ :

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