Aux deux bouts du temps

On décrit le circuit en mots. Une source idéale de tension $E=12\mathrm{V}$, dont la borne négative est la masse, est suivie d'un interrupteur $K$, puis d'une résistance $R_1=1,0\mathrm{k\Omega }$ qui aboutit à un nœud $A$. Entre $A$ et la masse sont branchées en parallèle trois branches :

• une résistance $R_2=2,0\mathrm{k\Omega }$ ;
• une bobine idéale $L=0,10\mathrm{H}$ en série avec une résistance $R_3=1,0\mathrm{k\Omega }$, parcourue par le courant $i_L$ orienté de $A$ vers la masse ;
• un condensateur $C=100\mu \mathrm{F}$, de tension $u_C=V_A$, parcouru par le courant $i_C$ orienté de $A$ vers la masse (convention récepteur).

L'interrupteur est fermé à $t=0$ ; avant, le condensateur est déchargé et aucun courant ne circule.

1) Longtemps après la fermeture, toutes les grandeurs du circuit sont constantes. Que valent le courant $i_C$ dans le condensateur et la tension aux bornes de la bobine ? Par quel dipôle peut-on remplacer chacun d'eux ?

2) En déduire $V_A$, le courant $i_L$ et les énergies stockées $W_C$ et $W_L$. Commenter leur rapport.

3) Juste après la fermeture, à l'instant $t=0^{+}$, on admet le résultat du cours : la tension aux bornes d'un condensateur et l'intensité dans une bobine sont des fonctions continues du temps. Par quoi peut-on remplacer le condensateur à $t=0^{+}$ ? la bobine ? Calculer le courant débité par la source à $t=0^{+}$ et sa répartition.

4) Vérifier les cas limites $R_3\to \infty$ et $R_2\to 0$ sur l'expression de $V_A$ obtenue au 2).