Ce que coûtent un farad et un henry

On donne la résistivité du cuivre ${\rho }_{\mathrm{Cu}}=1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$, celle du nichrome ${\rho }_{\mathrm{NiCr}}=1,1\times 10^{-6}\Omega \mathrm{m}$, la permittivité du vide ${\epsilon }_0=8,85\times 10^{-12}\mathrm{F}{\mathrm{m}}^{-1}$ et la perméabilité du vide ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{H}{\mathrm{m}}^{-1}$. On admet les trois formules suivantes, qui ne sont pas à connaître et ne servent ici qu'aux ordres de grandeur :

• résistance d'un fil de longueur $\ell$ et de section $S$ : $R=\rho \ell /S$ ;
• capacité d'un condensateur plan, d'armatures de surface $S$ séparées par un isolant d'épaisseur $e$ et de permittivité relative ${\epsilon }_r$ : $C={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S/e$ ;
• inductance d'un solénoïde long de $N$ spires, de section $S$ et de longueur $\ell$ : $L={\mu }_0{N}^{2}S/\ell$.

1) Calculer la résistance d'un mètre de fil de cuivre de section $1,5\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ (installation domestique). Le fil chauffant d'un grille-pain de $1000\mathrm{W}$ sous $230\mathrm{V}$ a une résistance de $52,9\Omega$ ; il est en nichrome, de diamètre $0,3\mathrm{mm}$ : quelle est sa longueur ? Pourquoi néglige-t-on la résistance des fils de liaison dans un circuit ?

2) Calculer la capacité d'un condensateur plan à air (${\epsilon }_r=1$) d'armatures de $1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ distantes de $1\mathrm{mm}$. Quelle surface d'armature faut-il pour obtenir $1\mu \mathrm{F}$ avec un film isolant de $1\mu \mathrm{m}$ (${\epsilon }_r=10$) ? pour $1\mathrm{mF}$ avec une couche d'oxyde de $10\mathrm{nm}$ (${\epsilon }_r=10$), comme dans un condensateur électrolytique ? Comment loge-t-on de telles surfaces dans un composant de quelques centimètres cubes ?

3) Dans un supercondensateur, l'électrode est un charbon actif qui offre une surface de $1000{\mathrm{m}}^2$ par gramme, et l'isolant est une « double couche » d'ions d'épaisseur $e\approx 1\mathrm{nm}$ (${\epsilon }_r\approx 10$). Estimer la capacité par gramme de charbon, puis la masse de charbon d'une cellule de $3000\mathrm{F}$.

4) Un solénoïde compte $N=1000$ spires sur une longueur $\ell =10\mathrm{cm}$, avec un diamètre de $4\mathrm{cm}$. Calculer $L$. Le fil de cuivre a un diamètre de $0,5\mathrm{mm}$ : calculer sa longueur, sa résistance $r$, puis le rapport $L/r$. Quelle est la dimension de ce rapport ?