Identifier un modèle de Thévenin

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 2 — Dipôles linéaires, énergie et associations · C. Modèle de Thévenin d'une source réelle

Énoncé

1) On relève, aux bornes d'une pile neuve de format AA, la tension $u$ en fonction de l'intensité $i$ qu'elle débite dans une résistance réglable (convention générateur) :

$i$ (A)	$0$	$0, 10$	$0, 20$	$0, 30$	$0, 40$	$0, 50$
$u$ (V)	$1, 52$	$1, 47$	$1, 42$	$1, 38$	$1, 33$	$1, 27$

Justifier qu'un modèle de Thévenin $u = E - r i$ est adapté. Déterminer $E$ et $r$ , puis le courant de court-circuit $I_{cc}$ . On pourra utiliser une régression linéaire.

2) Une pile usée affiche $1, 48 V$ quand on la mesure au voltmètre seul, et $0, 98 V$ quand elle débite $100 mA$ . Déterminer sa résistance interne. Un appareil demande $0, 30 A$ pour fonctionner : peut-elle le lui fournir ? Expliquer le paradoxe « la pile teste bonne, mais l'appareil ne marche pas ».

3) On branche sur chacune des deux piles une petite lampe assimilée à une résistance $R = 2, 5 Ω$ . Déterminer le point de fonctionnement (intensité, tension, puissance reçue par la lampe), par le calcul et par une lecture graphique dont on décrira le principe.

4) Un générateur basse fréquence (GBF) se modélise aussi par une source de Thévenin de résistance de sortie $R_{s}$ inconnue. On observe sa tension à vide sur un oscilloscope (résistance d'entrée $1 MΩ$ ), puis on branche en parallèle une résistance réglable $R$ , que l'on ajuste jusqu'à ce que l'amplitude observée soit divisée par deux ; on lit alors $R = 50 Ω$ . En déduire $R_{s}$ (méthode de la demi-tension). L'oscilloscope perturbe-t-il la mesure à vide ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le modèle de Thévenin $u = E - r i$ , la loi d'Ohm pour la charge, le diviseur de tension. La stratégie : un modèle linéaire a deux paramètres, donc deux mesures suffisent ; plus de mesures permettent de vérifier que le modèle est bon et de réduire l'incertitude.

1) Régression. Les points sont alignés : $u$ diminue d'environ $0, 05 V$ chaque fois que $i$ augmente de $0, 10 A$ , ce qui est la signature d'une droite de pente $- r$ . Une régression linéaire par moindres carrés donne la droite qui passe au mieux :

import numpy as np
i = np.array([0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5])     # courant (A)
u = np.array([1.52, 1.47, 1.42, 1.38, 1.33, 1.27])  # tension (V)
pente, E = np.polyfit(i, u, 1)                    # u = E - r i
r = -pente
print(f"E = {E:.3f} V, r = {r:.3f} ohm, Icc = {E/r:.2f} A")
print("écart max :", f"{np.max(np.abs(u - (E - r*i)))*1e3:.1f} mV")

Résultat obtenu en l'exécutant :

E = 1.520 V, r = 0.489 ohm, Icc = 3.11 A
écart max : 6.2 mV

Donc $E = 1, 52 V$ , $r \approx 0, 49 Ω$ , et le courant de court-circuit vaut $I_{cc} = E / r \approx 3, 1 A$ . Les écarts à la droite ne dépassent pas $6 mV$ , de l'ordre de la résolution du voltmètre : le modèle linéaire est validé sur cette plage. Le point délicat : il ne l'est que sur cette plage. Une pile n'est pas un dipôle linéaire sur toute sa caractéristique : sa résistance interne dépend du courant, de la température et de l'état de charge. Le modèle de Thévenin est un modèle local.

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