électricité (MPSI) · Chapitre 2 · Application directe du cours

La bobine d'allumage

Dipôles linéaires, énergie et associations · niveau 2

Énoncé

Le circuit primaire d'une bobine d'allumage d'automobile est modélisé ainsi : la batterie, source idéale $E = 12 V$ , alimente à travers un interrupteur $K$ (le « rupteur ») une bobine d'inductance $L = 5, 0 mH$ et de résistance $r = 2, 0 Ω$ , montées en série. Une résistance $R_{p} = 100 Ω$ est branchée en parallèle sur l'ensemble formé par la bobine et sa résistance. On note $i_{L}$ le courant dans la bobine, orienté de la borne reliée à $K$ vers la masse, et $u$ la tension aux bornes de l'ensemble bobine plus résistance, en convention récepteur pour cet ensemble.

1) L'interrupteur est fermé depuis longtemps. Calculer le courant $I_{0}$ dans la bobine et l'énergie qu'elle stocke.

2) On ouvre $K$ à $t = 0$ . Justifier que $i_{L} (0^{+}) = I_{0}$ à partir de l'expression de la puissance reçue par la bobine. Par où passe alors ce courant ? Calculer $u (0^{+})$ , puis la tension aux bornes de l'interrupteur ouvert.

3) Que se passerait-il en l'absence de $R_{p}$ ? Que devient l'énergie stockée dans la bobine dans les deux cas ?

4) Le courant décroît ensuite avec un temps caractéristique de l'ordre de $L / (R_{p} + r)$ . Calculer ce temps. Comment l'allumage utilise-t-il cette surtension pour faire jaillir l'étincelle de la bougie, qui demande plusieurs kilovolts ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La relation $u_{L} = L \frac{d i _{L}}{d t}$ , l'énergie $W_{L} = \frac{1}{2} L i_{L}^{2}$ , la loi des mailles et le comportement d'une bobine en régime permanent (un fil : $u_{L} = 0$ ). La stratégie : le courant dans la bobine ne peut pas s'interrompre ; il faut donc trouver le chemin qu'il emprunte, et la tension s'ensuit.

1) Le régime permanent. La bobine est équivalente à un fil, il reste sa résistance $r$ : $I_{0} = E / r = 12/2 = 6, 0 A$ . La résistance $R_{p}$ , soumise à $E$ , est parcourue par $E / R_{p} = 0, 12 A$ , qui ne passe pas par la bobine. L'énergie stockée vaut

$W_{L} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = \frac{1}{2} \times 5 \times 1 0^{- 3} \times 36 = 90 mJ .$

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

La continuité de $i_{L}$ , je la justifie par la puissance $\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} L i_{L}^{2})$ qui serait infinie. Après l'ouverture, le courant de la bobine passe par $R_{p}$ , donc $u (0^{+}) = + R_{p} I_{0}$ , du même signe qu'avant ?

Le chemin est le bon, mais pas le signe. Dans la maille bobine– $R_{p}$ , si $i_{L}$ traverse la bobine vers la masse, dans quel sens parcourt-il $R_{p}$ ? Compare avec l'orientation de $u$ , mesurée entre le côté de $K$ et la masse.

Élève

Il remonte dans $R_{p}$ , de la masse vers le point commun avec $K$ . Le courant allant des potentiels hauts vers les bas dans une résistance, c'est la masse qui est la borne de plus haut potentiel de $R_{p}$ .

Bien raisonné. Tu peux donc écrire $u (0^{+})$ avec son signe. Ensuite, quelle maille te donne la tension aux bornes de l'interrupteur ouvert, et que remarques-tu en la comparant à $E$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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