Le paradoxe des deux condensateurs

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 2 — Dipôles linéaires, énergie et associations · B. Puissance et énergie

Énoncé

Un condensateur de capacité $C_{1}$ , chargé sous la tension $U_{0}$ , est relié à $t = 0$ , par des fils de résistance totale $R$ , à un condensateur de capacité $C_{2}$ initialement déchargé : les deux armatures « hautes » sont reliées entre elles à travers $R$ , les deux armatures « basses » directement. On attend que le courant s'annule.

1) Quelle grandeur se conserve entre l'état initial et l'état final ? Le justifier en intégrant dans le temps la loi des nœuds. En déduire la tension finale commune $U_{f}$ .

2) Calculer l'énergie stockée avant et après. Montrer que la différence vaut $Δ W = \frac{C _{1} C _{2}}{2 ( C _{1} + C _{2} )} U_{0}^{2}$ . Que vaut la fraction perdue pour $C_{1} = C_{2}$ ? pour $C_{2} = 4 C_{1}$ ?

3) Ce résultat ne fait pas intervenir $R$ . Où l'énergie est-elle passée ? On admet, en anticipant sur le chapitre suivant, que le courant vaut $i (t) = \frac{U _{0}}{R} e^{- t / τ}$ avec $τ = R \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}}$ : calculer l'énergie dissipée par effet Joule dans $R$ et conclure. Que penser du cas « $R = 0$ » ?

4) Application : $C_{1} = C_{2} = 100 μ F$ , $U_{0} = 10 V$ . Vérifier l'homogénéité de $Δ W$ et étudier le cas limite $C_{2} \to 0$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La relation $q = C u$ pour chaque condensateur, $i = \frac{d q}{d t}$ , la loi des nœuds, l'énergie $\frac{1}{2} C u^{2}$ . La stratégie : un bilan de charge donne l'état final, un bilan d'énergie mesure la perte ; le désaccord entre les deux est le paradoxe.

1) La charge se conserve. Considérons le nœud formé par l'armature haute de $C_{1}$ , le fil, la résistance et l'armature haute de $C_{2}$ : c'est un conducteur isolé, aucun fil n'en sort. Notons $i$ le courant dans $R$ , orienté de $C_{1}$ vers $C_{2}$ , et $q_{1}$ , $q_{2}$ les charges des armatures hautes. L'armature de $C_{1}$ perd la charge que transporte $i$ , celle de $C_{2}$ la gagne : $\frac{d q _{1}}{d t} = - i, \frac{d q _{2}}{d t} = + i, donc \frac{d}{d t} (q_{1} + q_{2}) = 0.$ En intégrant de $0$ à l'état final, $q_{1} + q_{2}$ se conserve : $C_{1} U_{0} = (C_{1} + C_{2}) U_{f}$ , puisque dans l'état final le courant est nul, donc la tension aux bornes de $R$ aussi, et les deux condensateurs ont la même tension. Ainsi $U_{f} = \frac{C _{1}}{C _{1} + C _{2}} U_{0} .$

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