Le potentiomètre chargé

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 2 — Dipôles linéaires, énergie et associations

Énoncé

Un potentiomètre est une résistance totale $R_{p}$ , entre deux bornes $A$ et $B$ , sur laquelle glisse un curseur $C$ ; la résistance entre $C$ et $B$ vaut $x R_{p}$ , celle entre $A$ et $C$ vaut $(1 - x) R_{p}$ , avec $0 \leq x \leq 1$ . On applique une tension constante $E$ entre $A$ et $B$ (source idéale, $B$ à la masse), et l'on prélève la tension de sortie $u_{s}$ entre $C$ et $B$ .

On admet le résultat suivant, qui étend le modèle de Thévenin d'une source à un réseau : vu de deux de ses bornes, un réseau linéaire contenant des sources idéales et des résistances se comporte comme une source de Thévenin, dont la force électromotrice $E_{th}$ est la tension entre ces bornes à vide, et dont la résistance $R_{th}$ est la résistance vue entre ces bornes quand on remplace chaque source idéale de tension par un fil (on dit qu'on « éteint » la source).

1) Exprimer la tension de sortie à vide. Déterminer le modèle de Thévenin $(E_{th}, R_{th})$ vu des bornes $C$ et $B$ . Pour quelle position du curseur $R_{th}$ est-elle maximale ?

2) On branche entre $C$ et $B$ une charge $R_{c}$ . Exprimer $u_{s}$ . Application : $E = 10 V$ , $R_{p} = 10 kΩ$ , $x = \frac{1}{2}$ , pour $R_{c} = 10 kΩ$ , puis pour un oscilloscope de résistance d'entrée $1 MΩ$ .

3) Le même oscilloscope observe le milieu d'un diviseur réalisé avec $R_{p} = 10 MΩ$ . Que lit-il ?

4) À quelle condition sur $R_{c}$ l'erreur relative due à la charge est-elle inférieure à $1 %$ pour toutes les positions du curseur ? Application numérique.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le diviseur de tension, l'association de deux résistances et le résultat admis dans l'énoncé. La stratégie : plutôt que de recalculer le circuit chargé à chaque nouvelle charge, on remplace une fois pour toutes le potentiomètre par son modèle de Thévenin ; la charge n'est plus alors que le second élément d'un diviseur.

1) Le modèle de Thévenin. À vide, aucun courant ne sort par $C$ : les deux portions du potentiomètre sont en série, et le diviseur de tension donne

$E_{th} = E \frac{x R _{p}}{( 1 - x ) R _{p} + x R _{p}} = x E .$

Pour la résistance, on éteint la source : $A$ est relié à $B$ par un fil. Vu de $C$ et $B$ , les deux portions $(1 - x) R_{p}$ et $x R_{p}$ sont alors en parallèle :

$R_{th} = \frac{( 1 - x ) R _{p} \cdot x R _{p}}{( 1 - x ) R _{p} + x R _{p}} = x (1 - x) R_{p} .$

Le trinôme $x (1 - x)$ s'annule aux deux extrémités et atteint son maximum $\frac{1}{4}$ en $x = \frac{1}{2}$ : $R_{th} \leq R_{p} /4$ , avec égalité au milieu. Cas limites : en $x = 0$ , le curseur est sur $B$ et la sortie est un fil, $R_{th} = 0$ ; en $x = 1$ , il est sur $A$ , relié directement à la source idéale, $R_{th} = 0$ aussi.

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