Le réseau R-2R

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 2 — Dipôles linéaires, énergie et associations · D. Associations et diviseurs

Énoncé

Un réseau comporte $n$ nœuds $N_{0}, N_{1}, \dots, N_{n - 1}$ . Deux nœuds consécutifs $N_{k}$ et $N_{k + 1}$ sont reliés par une résistance $R$ . Chaque nœud $N_{k}$ est relié à la masse par une résistance $2 R$ , qu'on appelle la branche $k$ ; le dernier nœud $N_{n - 1}$ est en outre relié à la masse par une seconde résistance $2 R$ , dite de terminaison. Une source idéale impose $V_{N_{0}} = V_{ref}$ .

1) Montrer que la résistance vue depuis $N_{n - 1}$ vers la masse vaut $R$ . Puis montrer, de proche en proche, que pour tout $k \geq 1$ la partie du réseau située « en aval » de $N_{k - 1}$ (la résistance $R$ qui va de $N_{k - 1}$ à $N_{k}$ et tout ce qui suit) a une résistance $2 R$ , et que l'ensemble vu de chaque nœud vers la masse a une résistance $R$ .

2) En déduire, par un diviseur de courant à chaque nœud, que le courant dans la branche $k$ vaut $I_{k} = \frac{V _{ref}}{2 R} 2^{- k}$ , et que $V_{N_{k}} = V_{ref} / 2^{k}$ .

3) On recueille les courants de certaines branches seulement, selon les chiffres $b_{k} \in {0, 1}$ d'un nombre écrit en binaire : la branche $k$ est envoyée vers une sortie maintenue au potentiel de la masse si $b_{k} = 1$ , directement vers la masse sinon. Que vaut le courant total recueilli ? Pourquoi ce réseau n'utilise-t-il que deux valeurs de résistance ?

4) On considère maintenant une échelle infinie : une résistance $R$ en série, puis une résistance $R$ en dérivation vers la masse, et ainsi de suite indéfiniment. Par un argument d'autosimilarité, montrer que sa résistance d'entrée $R_{\infty}$ vérifie $R_{\infty} = R + \frac{R R _{\infty}}{R + R _{\infty}}$ et la calculer.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'association de deux résistances en série et en parallèle, le diviseur de courant $i_{1} = i \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ . La stratégie : commencer par le bout, là où le réseau est le plus simple, et remonter. Un réseau qui paraît demander $n$ équations se résout en $n$ associations de deux résistances.

1) Les résistances vues. Au dernier nœud $N_{n - 1}$ , deux résistances $2 R$ sont en parallèle vers la masse (la branche $n - 1$ et la terminaison) : $\frac{2 R \times 2 R}{2 R + 2 R} = R .$ Remontons d'un cran. Vu de $N_{n - 2}$ , la partie aval est la résistance $R$ vers $N_{n - 1}$ en série avec la résistance $R$ que l'on vient de trouver : elle vaut $2 R$ . Elle est en parallèle avec la branche $n - 2$ , qui vaut aussi $2 R$ : l'ensemble vu de $N_{n - 2}$ vers la masse vaut encore $R$ . La situation se reproduit à l'identique : si l'ensemble vu de $N_{k}$ vaut $R$ , alors la partie aval de $N_{k - 1}$ vaut $R + R = 2 R$ , et l'ensemble vu de $N_{k - 1}$ vaut $2 R ∥ 2 R = R$ . Par récurrence descendante, la propriété vaut pour tous les nœuds, et en particulier la source voit une résistance $R$ : elle débite $V_{ref} / R$ .

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