Montage amont ou aval ?

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 2 — Dipôles linéaires, énergie et associations · E. Résistances d'entrée et de sortie

Énoncé

On mesure une résistance $R$ inconnue, alimentée par une source, avec un voltmètre de résistance d'entrée $R_{V} = 10 MΩ$ et un ampèremètre de résistance d'entrée $R_{A} = 1, 0 Ω$ ; on prend pour valeur mesurée $R_{mes} = U / I$ , où $U$ est la tension lue sur le voltmètre et $I$ le courant lu sur l'ampèremètre.

1) Montage aval (ou « courte dérivation ») : le voltmètre est branché directement aux bornes de $R$ , et l'ampèremètre, placé en série avec l'ensemble, mesure le courant total. Exprimer $R_{mes}$ et l'erreur relative $\frac{R _{mes} - R}{R}$ . À quelle condition est-elle petite ?

2) Montage amont (ou « longue dérivation ») : le voltmètre est branché aux bornes de l'ensemble formé par $R$ et l'ampèremètre en série. Même question.

3) Montrer que les deux erreurs sont égales en valeur absolue, au premier ordre, pour une résistance critique $R_{c} = R_{A} R_{V}$ . Calculer $R_{c}$ et énoncer la règle de choix.

4) Calculer les deux erreurs pour $R = 100 Ω$ et pour $R = 1, 0 MΩ$ . Pourquoi un voltmètre doit-il avoir une grande résistance d'entrée, et un ampèremètre une petite ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le modèle d'un appareil de mesure comme une résistance (sa résistance d'entrée), les associations série et parallèle. La stratégie : dans chaque montage, identifier ce que mesure vraiment chaque appareil, en le traitant comme un dipôle du circuit.

1) Montage aval. Le voltmètre mesure exactement la tension aux bornes de $R$ ; mais l'ampèremètre mesure le courant total, qui se partage entre $R$ et le voltmètre. Le rapport $U / I$ est donc la résistance de l'association parallèle : $R_{mes} = \frac{R R _{V}}{R + R _{V}}, \frac{R _{mes} - R}{R} = - \frac{R}{R + R _{V}} \approx - \frac{R}{R _{V}} .$ L'erreur est par défaut, et petite si $R ≪ R_{V}$ .

2) Montage amont. L'ampèremètre mesure exactement le courant dans $R$ ; mais le voltmètre mesure la tension aux bornes de $R$ et de l'ampèremètre : $R_{mes} = R + R_{A}, \frac{R _{mes} - R}{R} = \frac{R _{A}}{R} .$ L'erreur est par excès, et petite si $R ≫ R_{A}$ .

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