Problème : le pont de Wheatstone

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 2 — Dipôles linéaires, énergie et associations · D. Associations et diviseurs

Énoncé

Le pont est décrit en mots. Une source idéale de tension $E$ est branchée entre un point $A$ (borne positive) et un point $B$ , pris comme masse. Entre $A$ et $B$ sont branchés en parallèle deux « bras » : le bras gauche, formé de $R_{1}$ entre $A$ et $C$ puis de $R_{2}$ entre $C$ et $B$ ; le bras droit, formé de $R_{3}$ entre $A$ et $D$ puis de $R_{4}$ entre $D$ et $B$ . Un appareil de détection (voltmètre ou galvanomètre, de résistance $R_{d}$ ) est branché entre les points milieux $C$ et $D$ ; on note $u_{C D} = V_{C} - V_{D}$ .

On admet que vu de deux de ses bornes un réseau de sources idéales et de résistances se comporte comme une source de Thévenin, dont la force électromotrice est la tension à vide entre ces bornes, et la résistance celle qu'on voit entre ces bornes quand chaque source idéale de tension est remplacée par un fil.

1) En l'absence de détecteur, exprimer $u_{C D}$ par deux diviseurs de tension. En déduire la condition d'équilibre du pont ( $u_{C D} = 0$ ), et montrer qu'elle ne dépend ni de $E$ ni de l'appareil placé entre $C$ et $D$ .

2) Déterminer le modèle de Thévenin du pont vu des bornes $C$ et $D$ ; justifier soigneusement l'expression de la résistance. Exprimer le courant dans un détecteur de résistance $R_{d}$ .

3) Quart de pont. On prend $R_{1} = R_{3} = R_{4} = R$ , et $R_{2}$ est une jauge de contrainte collée sur une pièce métallique : sa résistance vaut $R (1 + δ)$ avec $δ = K ε$ , où $ε$ est la déformation relative de la pièce et $K$ un coefficient sans dimension. Montrer que $u_{C D} = \frac{E δ}{2 ( 2 + δ )} ≃ \frac{E δ}{4}$ ; calculer $u_{C D}$ et l'erreur relative de linéarisation pour $K = 2, 0$ , $ε = 5 \times 1 0^{- 4}$ , $R = 350 Ω$ , $E = 5, 0 V$ .

4) Influence du détecteur. Calculer la tension lue par un voltmètre de résistance d'entrée $10 MΩ$ , puis le courant dans un galvanomètre de résistance $100 Ω$ . Commenter.

5) Pourquoi un pont ? On pourrait se contenter d'un simple diviseur formé de $R$ et de la jauge, et lire la tension aux bornes de la jauge. Calculer cette tension et sa variation due à la déformation. Comparer l'effet d'une fluctuation de $1 %$ de $E$ sur les deux montages. Que gagne-t-on en plaçant, dans le bras où se trouve la jauge, une seconde jauge identique, non déformée, à la place de $R_{1}$ ?

6) Vérifier l'homogénéité des résultats et les cas limites $δ \to 0$ , $R_{d} \to \infty$ et $R_{d} \to 0$ . Énoncer le résultat obtenu.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le diviseur de tension, l'association de deux résistances, le modèle de Thévenin d'un réseau admis dans l'énoncé, la notion de résistance d'entrée. La stratégie : traiter chaque bras comme un diviseur indépendant, puisque chacun est soumis à la tension $E$ de la source idéale, puis ramener tout le pont à une source de Thévenin vue du détecteur.

1) La tension à vide et l'équilibre. Sans détecteur, aucun courant ne sort par $C$ ni par $D$ . Chaque bras est soumis à la tension $E$ imposée par la source idéale, et forme un diviseur : $V_{C} = E \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}, V_{D} = E \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}, u_{C D} = E (\frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} - \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}) .$ En réduisant au même dénominateur : $u_{C D} = E \frac{R _{2} ( R _{3} + R _{4} ) - R _{4} ( R _{1} + R _{2} )}{( R _{1} + R _{2} ) ( R _{3} + R _{4} )} = E \frac{R _{2} R _{3} - R _{1} R _{4}}{( R _{1} + R _{2} ) ( R _{3} + R _{4} )} .$ Le pont est équilibré si et seulement si le numérateur s'annule : $R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3} .$ Cette condition ne fait pas intervenir $E$ : elle reste vraie si la source fluctue. Et si $u_{C D} = 0$ à vide, alors $C$ et $D$ sont au même potentiel ; un appareil branché entre eux, quelle que soit sa résistance, n'est soumis à aucune tension et n'est parcouru par aucun courant : il ne modifie rien. L'équilibre ne dépend ni de $E$ ni du détecteur. C'est l'usage historique du pont : on place une résistance inconnue $R_{2}$ , on règle une résistance étalonnée $R_{1}$ jusqu'à ce que le galvanomètre ne dévie plus, et l'on lit $R_{2} = R_{1} R_{4} / R_{3}$ . Le montage, décrit par Christie en 1833, a été popularisé par Wheatstone en 1843.

2) Le modèle de Thévenin vu du détecteur. La force électromotrice est la tension à vide : $E_{th} = u_{C D}$ , calculée au 1).

Pour la résistance, on éteint la source : $A$ est relié à $B$ par un fil. Le point délicat est de redessiner le circuit. Les points $A$ et $B$ étant confondus en un seul nœud, que l'on appelle $M$ , la résistance $R_{1}$ (de $C$ à $A$ ) et la résistance $R_{2}$ (de $C$ à $B$ ) relient toutes deux $C$ à $M$ : elles sont en parallèle. De même, $R_{3}$ et $R_{4}$ relient toutes deux $D$ à $M$ : en parallèle. Et le trajet de $C$ à $D$ passe par $M$ : ces deux associations sont en série. D'où $R_{th} = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} + \frac{R _{3} R _{4}}{R _{3} + R _{4}} .$ Le détecteur forme avec cette source un circuit à une seule maille : $i_{d} = \frac{E _{th}}{R _{th} + R _{d}}, u_{d} = E_{th} \frac{R _{d}}{R _{th} + R _{d}} .$

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