Circuit à deux mailles : le Thévenin vu du condensateur

Un générateur idéal $E=10\mathrm{V}$ alimente, par un interrupteur $K$ et une résistance $R_1=1,0\mathrm{k\Omega }$, un nœud $A$ ; entre $A$ et la masse sont branchés en parallèle une résistance $R_2=4,0\mathrm{k\Omega }$ et un condensateur $C=2,0\mu \mathrm{F}$, initialement déchargé. On note $i_1$ le courant dans $R_1$ (vers $A$), $i_2$ celui dans $R_2$ et $i_C$ celui dans le condensateur (tous deux de $A$ vers la masse), $u_C=V_A$ la tension du condensateur. On ferme $K$ à $t=0$.

On rappelle (notion donnée, vue au chapitre des dipôles) que, vu de deux bornes, un réseau de sources idéales et de résistances se comporte comme un générateur de Thévenin : une source de f.é.m. $E_{\mathrm{th}}$ en série avec une résistance $R_{\mathrm{th}}$, où $E_{\mathrm{th}}$ est la tension entre les bornes laissées ouvertes, et $R_{\mathrm{th}}$ la résistance vue de ces bornes quand on éteint les sources (une source de tension éteinte est remplacée par un fil).

1) Établir, par la loi des nœuds en $A$, l'équation différentielle vérifiée par $u_C$ ; la mettre sous la forme $\tau {\dot{u}}_C+u_C=u_{\infty }$ et identifier $\tau$ et $u_{\infty }$.

2) Retrouver ce résultat sans équation, en remplaçant tout ce que « voit » le condensateur par son générateur de Thévenin.

3) Donner $u_C(t)$, les courants $i_1(0^{+})$ et $i_C(0^{+})$. Vérifier les cas limites $R_2\to \infty$ et $R_2\to 0$.

4) Le régime permanent atteint, on rouvre $K$. Quelle est la nouvelle constante de temps ? Pourquoi la décharge est-elle plus lente que la charge ?

5) Application à la mesure. On observe la charge d'un circuit RC série ($R=100\mathrm{k\Omega }$, $C=10\mathrm{nF}$, échelon $E$) à l'oscilloscope, dont l'entrée équivaut à une résistance $R_e=1\mathrm{M\Omega }$ branchée en parallèle sur $C$. Quelles valeurs de $\tau$ et de $u_{\infty }$ mesure-t-on ? Quelle erreur relative ? Comment s'en affranchir ?