Couper le courant d'une bobine : surtension et roue libre

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 3 — Le circuit linéaire du premier ordre · B. Mise en équation

Énoncé

La bobine d'un relais électromécanique est modélisée par une inductance $L = 0, 20 H$ en série avec une résistance $r = 40 Ω$ . Elle est alimentée sous $E = 12 V$ (borne $+$ au point $P$ ) ; le transistor qui la commande est modélisé par un interrupteur $K$ placé entre l'autre extrémité $N$ de la bobine et la masse. On note $i$ le courant dans la bobine, compté de $P$ vers $N$ , et $u_{K} = V_{N}$ la tension aux bornes de l'interrupteur. Le relais retombe (ses contacts s'ouvrent) quand $i$ devient inférieur à $0, 10 A$ .

1) $K$ est fermé depuis longtemps. Calculer le courant $I_{0}$ et l'énergie stockée dans la bobine.

2) Sans protection, on ouvre $K$ ; le transistor coupe le courant en une durée $θ \approx 1 μ s$ . Estimer l'ordre de grandeur de la tension qui apparaît aux bornes de la bobine. Que se passe-t-il physiquement ?

3) On branche une résistance de décharge $R_{d} = 200 Ω$ entre $P$ et $N$ , en parallèle sur la bobine. Établir l'équation différentielle de $i$ après l'ouverture, la résoudre, et calculer $u_{K} (0^{+})$ .

4) Calculer l'énergie dissipée dans $R_{d}$ après l'ouverture. Que devient le reste ?

5) On remplace $R_{d}$ par une diode dite « de roue libre », cathode en $P$ , anode en $N$ . On la modélise (modèle donné) par un interrupteur idéal : fermé, avec une tension nulle à ses bornes, quand un courant la traverse de l'anode vers la cathode ; ouvert sinon. Montrer qu'elle ne conduit pas quand $K$ est fermé. Que valent la constante de temps et $u_{K} (0^{+})$ après l'ouverture ?

6) Comparer les deux protections du point de vue de la tension subie par le transistor et du temps de retombée du relais. Quel compromis apparaît ?

Corrigé

La stratégie. La continuité de $i_{L}$ n'est pas qu'un outil pour trouver des conditions initiales : c'est une contrainte physique. Si le circuit ne laisse aucun chemin au courant de la bobine, la bobine en crée un, en produisant la tension qu'il faut pour faire jaillir un arc. Protéger un circuit inductif, c'est offrir ce chemin, et choisir à quel prix.

1) Régime permanent. Bobine = fil : $I_{0} = \frac{E}{r} = \frac{12}{40} = 0, 30 A$ , et $E_{L} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = \frac{1}{2} \times 0, 20 \times 0, 3 0^{2} = 9, 0 mJ .$

2) Sans protection. Le courant passe de $0, 30 A$ à zéro en $θ \approx 1 μ s$ ; la bobine développe une tension d'ordre $∣ u_{L} ∣ \approx L \frac{I _{0}}{θ} = 0, 20 \times \frac{0 , 30}{1 0 ^{- 6}} = 6 \times 1 0^{4} V = 60 kV .$ Ce chiffre n'est jamais atteint : bien avant, la tension dépasse la tension de claquage du transistor (quelques dizaines de volts) ou de l'air entre les contacts, et un arc s'établit. Le courant, qu'on prétendait couper, continue de passer à travers l'arc ou le transistor détruit. La continuité de $i_{L}$ est toujours respectée ; c'est le circuit qui en paie le prix.

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