Deux condensateurs reliés par une résistance

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 3 — Le circuit linéaire du premier ordre

Énoncé

Un condensateur $C_{1} = 100 μ F$ , chargé sous $E = 20 V$ , est relié à $t = 0$ , par une résistance $R = 1, 0 kΩ$ , à un condensateur $C_{2} = 300 μ F$ initialement déchargé. On note $u_{1}$ et $u_{2}$ leurs tensions (armatures « hautes » reliées par $R$ , armatures « basses » reliées par un fil), et $i$ le courant dans $R$ , compté de $C_{1}$ vers $C_{2}$ .

1) Quelle grandeur se conserve au cours de l'évolution ? Justifier. En déduire la tension finale commune $U_{f}$ sans résoudre d'équation différentielle.

2) Comparer les énergies stockées initiale et finale. Établir l'expression de l'énergie perdue, $W_{perdue} = \frac{1}{2} \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}} E^{2}$ , et la fraction perdue.

3) Établir l'équation différentielle vérifiée par $u = u_{1} - u_{2}$ et identifier la constante de temps. En déduire $i (t)$ , puis calculer directement $\int_{0}^{\infty} R i^{2} d t$ . Conclure.

4) Le résultat du 2) dépend-il de $R$ ? Que se passe-t-il quand $R \to 0$ ? Discuter ce « paradoxe ».

5) Que vaut la fraction perdue si $C_{2} = C_{1}$ ? et si $C_{1} \to \infty$ ? Rapprocher ce dernier cas du résultat du cours sur la charge d'un condensateur.

Corrigé

La stratégie. L'état final se trouve par une loi de conservation, sans résoudre. Le bilan d'énergie se fait ensuite entre les deux états d'équilibre ; la résolution de l'équation ne sert qu'à vérifier que l'énergie manquante est bien passée dans la résistance.

1) La conservation de la charge. Les armatures hautes des deux condensateurs, reliées par $R$ , forment avec ce fil un ensemble isolé : aucune autre branche n'y aboutit. La charge qu'elles portent, $q_{1} + q_{2} = C_{1} u_{1} + C_{2} u_{2}$ , se conserve donc. Formellement : $q ˙_{1} = - i$ et $q ˙_{2} = + i$ , donc $q ˙_{1} + q ˙_{2} = 0$ . À l'état final, aucun courant ne circule dans $R$ , donc $u_{1} = u_{2} = U_{f}$ :

$C_{1} E = (C_{1} + C_{2}) U_{f} ⟹ U_{f} = \frac{C _{1}}{C _{1} + C _{2}} E = \frac{100}{400} \times 20 = 5, 0 V .$

2) L'énergie perdue.

$E_{i} = \frac{1}{2} C_{1} E^{2} = 20 mJ, E_{f} = \frac{1}{2} (C_{1} + C_{2}) U_{f}^{2} = \frac{1}{2} \frac{C _{1}^{2} E ^{2}}{C _{1} + C _{2}} = 5, 0 mJ .$

La différence :

$W_{perdue} = \frac{1}{2} C_{1} E^{2} (1 - \frac{C _{1}}{C _{1} + C _{2}}) = \frac{1}{2} \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}} E^{2} = 15 mJ,$

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