Établissement du courant dans une bobine : le bilan de puissance

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 3 — Le circuit linéaire du premier ordre

Énoncé

Un électroaimant est modélisé par une bobine idéale $L = 0, 30 H$ en série avec une résistance $R = 6, 0 Ω$ . On le branche à $t = 0$ , par un interrupteur, sur un générateur idéal $E = 12 V$ . Le courant $i$ est compté dans le sens où le générateur débite.

1) Établir l'équation vérifiée par $i$ ; donner $i (t)$ , $τ$ et le courant final $I$ .

2) Multiplier la loi des mailles par $i$ . Identifier chaque terme et écrire le bilan de puissance instantané.

3) Exprimer la puissance $P_{L} (t)$ reçue par la bobine. Montrer qu'elle passe par un maximum, dont on donnera l'instant et la valeur. Pourquoi est-elle nulle à $t = 0$ et à $t \to \infty$ ?

4) Calculer, entre $0$ et $5 τ$ , l'énergie fournie par le générateur, l'énergie stockée par la bobine et l'énergie dissipée par effet Joule.

5) En régime permanent, comparer la puissance dissipée à l'énergie stockée. Peut-on parler, comme pour la charge d'un condensateur, d'un « rendement de $50 %$ » ?

6) Vérifier l'homogénéité de $τ$ et de la puissance maximale trouvée au 3).

Corrigé

La stratégie. Un bilan d'énergie s'obtient toujours de la même façon : on multiplie la loi des mailles (des tensions) par le courant, et chaque terme devient une puissance. On regarde alors non seulement les totaux, mais la façon dont chaque puissance évolue dans le temps.

1) Le courant. Loi des mailles : $E = R i + L \frac{d i}{d t}$ , soit $\frac{L}{R} \frac{d i}{d t} + i = \frac{E}{R}$ . Avec $i (0^{+}) = i (0^{-}) = 0$ (continuité du courant dans la bobine) :

$i (t) = I (1 - e^{- t / τ}), τ = \frac{L}{R} = \frac{0 , 30}{6 , 0} = 50 ms, I = \frac{E}{R} = 2, 0 A .$

2) Le bilan de puissance. En multipliant par $i$ :

$E i = R i^{2} + L i \frac{d i}{d t} = R i^{2} + \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} L i^{2}) .$

Le terme $E i$ est la puissance fournie par le générateur ; $R i^{2}$ la puissance dissipée par effet Joule ; $\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} L i^{2})$ la puissance reçue par la bobine, qui sert à augmenter son énergie magnétique. À chaque instant : puissance fournie $=$ puissance dissipée $+$ variation de l'énergie stockée.

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.