États initial et final sans résoudre

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 3 — Le circuit linéaire du premier ordre · A. Régimes transitoire et permanent

Énoncé

Un générateur de tension idéal de force électromotrice $E = 12 V$ (borne $+$ en un point $P$ , borne $-$ à la masse) est relié, par un interrupteur $K$ puis une résistance $R_{1} = 100 Ω$ , à un nœud $A$ . Entre $A$ et la masse sont branchées en parallèle deux branches :

la branche 1 comporte une résistance $R_{2} = 50 Ω$ en série avec une bobine idéale $L = 0, 10 H$ ; elle est parcourue par le courant $i_{L}$ , compté de $A$ vers la masse ;
la branche 2 comporte une résistance $R_{3} = 200 Ω$ en série avec un condensateur $C = 10 μ F$ ; elle est parcourue par $i_{3}$ , compté de $A$ vers la masse, et l'on note $u_{C}$ la tension du condensateur en convention récepteur.

On note $i_{1}$ le courant dans $R_{1}$ , compté de $K$ vers $A$ , et $u_{L}$ la tension de la bobine en convention récepteur. Tout est au repos quand on ferme $K$ à $t = 0$ .

1) Rappeler pourquoi $u_{C}$ et $i_{L}$ sont continues. Que valent-elles en $t = 0^{+}$ ?

2) Par quoi peut-on remplacer le condensateur et la bobine à l'instant $t = 0^{+}$ ? En déduire $i_{1} (0^{+})$ , $i_{3} (0^{+})$ , $u_{L} (0^{+})$ , puis $\frac{d i _{L}}{d t} (0^{+})$ et $\frac{d u _{C}}{d t} (0^{+})$ .

3) Par quoi les remplacer en régime permanent continu ? En déduire $i_{L} (\infty)$ , $u_{C} (\infty)$ et les énergies stockées dans la bobine et dans le condensateur.

4) Le régime permanent étant atteint, on rouvre $K$ (nouvelle origine des temps). Déterminer $i_{3} (0^{+})$ , le potentiel $V_{A} (0^{+})$ , la tension $u_{L} (0^{+})$ , puis la tension $u_{K}$ aux bornes de l'interrupteur ouvert. Commenter.

5) Pourquoi ne demande-t-on pas l'évolution de $u_{C} (t)$ après la réouverture ?

6) Vérifier l'homogénéité des deux dérivées obtenues au 2).

Corrigé

La stratégie. On ne cherche pas l'équation différentielle — le circuit contient deux éléments réactifs, et ce chapitre ne sait résoudre que le premier ordre. On cherche seulement des valeurs à des instants particuliers. Pour cela, deux outils suffisent. En $0^{+}$ , la continuité fixe $u_{C}$ et $i_{L}$ : le condensateur se comporte, à cet instant, comme une source de tension de valeur $u_{C} (0^{+})$ , et la bobine comme une source de courant de valeur $i_{L} (0^{+})$ . En régime permanent continu, plus rien ne varie : $i = C u ˙_{C} = 0$ (le condensateur est un interrupteur ouvert) et $u_{L} = L i ˙_{L} = 0$ (la bobine est un fil). Il ne reste à chaque fois qu'un circuit de résistances.

1) Continuité. Le condensateur stocke l'énergie $\frac{1}{2} C u_{C}^{2}$ et la bobine $\frac{1}{2} L i_{L}^{2}$ . Un saut de $u_{C}$ ou de $i_{L}$ ferait varier cette énergie en un temps nul, ce qui exigerait une puissance infinie : aucun générateur réel ne la fournit. De façon équivalente, un saut de $u_{C}$ rendrait $i = C u ˙_{C}$ infini, un saut de $i_{L}$ rendrait $u_{L} = L i ˙_{L}$ infinie. Le circuit étant au repos avant la fermeture, $u_{C} (0^{-}) = 0$ et $i_{L} (0^{-}) = 0$ , donc $u_{C} (0^{+}) = 0, i_{L} (0^{+}) = 0.$

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