L'oscillateur de relaxation : seuils et période

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 3 — Le circuit linéaire du premier ordre

Énoncé

Un condensateur $C$ est chargé depuis une alimentation continue $E$ à travers deux résistances en série, $R_{A}$ (côté alimentation) puis $R_{B}$ (côté condensateur) ; on note $B$ le point commun à $R_{A}$ et $R_{B}$ . Un circuit de commande surveille $u_{C}$ ; on le modélise (modèle donné) par un interrupteur idéal commandé $K$ , placé entre $B$ et la masse :

$K$ s'ouvre quand $u_{C}$ descend jusqu'au seuil bas $U_{b}$ ;
$K$ se ferme quand $u_{C}$ monte jusqu'au seuil haut $U_{h}$ .

Quand $K$ est fermé, le condensateur se décharge dans $R_{B}$ vers la masse. Un voyant est allumé tant que $K$ est ouvert.

1) Établir la durée $Δ t$ nécessaire pour qu'une grandeur qui évolue selon $τ u ˙ + u = u_{\infty}$ passe d'une valeur $u_{1}$ à une valeur $u_{2}$ (comprise entre $u_{1}$ et $u_{\infty}$ ).

2) Dans le montage usuel, les seuils sont $U_{b} = E /3$ et $U_{h} = 2 E /3$ . Décrire le régime établi, calculer la durée de charge, la durée de décharge et la période $T$ . Montrer que $T$ ne dépend pas de $E$ .

3) On veut un clignotant de fréquence $f = 1, 5 Hz$ , avec $C = 10 μ F$ et $R_{A} = R_{B} = R$ . Calculer $R$ et la fraction de la période pendant laquelle le voyant est allumé.

4) Dans un montage moins soigné, les seuils sont fixes : $U_{b} = 4 V$ et $U_{h} = 8 V$ , quelle que soit $E$ . La batterie qui alimente le montage passe de $12 V$ à $10 V$ en se déchargeant. De combien la période varie-t-elle ? Conclure sur l'intérêt des seuils proportionnels à $E$ .

Corrigé

La stratégie. La question « combien de temps pour atteindre telle valeur ? » se pose sans cesse, et elle se résout toujours de la même façon : on écrit la solution de l'échelon avec les bonnes valeurs initiale et finale, puis on inverse l'exponentielle. Le montage ne fait qu'enchaîner deux tels échelons.

1) La durée de franchissement. Partant de $u_{1}$ en $t = 0$ , $u (t) = u_{\infty} + (u_{1} - u_{\infty}) e^{- t / τ}$ . On cherche $Δ t$ tel que $u (Δ t) = u_{2}$ :

$e^{- Δ t / τ} = \frac{u _{\infty} - u _{2}}{u _{\infty} - u _{1}} ⟹ Δ t = τ ln \frac{u _{\infty} - u _{1}}{u _{\infty} - u _{2}}$

Le logarithme porte sur le rapport des distances à la valeur finale, au départ et à l'arrivée. Il est positif puisque $u_{2}$ est plus proche de $u_{\infty}$ que $u_{1}$ . Si $u_{2} \to u_{\infty}$ , $Δ t \to \infty$ : on n'atteint jamais exactement la valeur finale, et c'est pourquoi un seuil doit être choisi strictement entre la valeur de départ et l'asymptote.

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