La méthode d'Euler : du schéma à la simulation

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 3 — Le circuit linéaire du premier ordre · C. Réponse à un échelon

Énoncé

(Capacité numérique.) On étudie l'équation $τ u ˙ + u = e (t)$ par le schéma d'Euler explicite de pas $h$ : $u_{n + 1} = u_{n} + h \frac{e ( t _{n} ) - u _{n}}{τ}, t_{n} = nh .$

1) Régime libre ( $e = 0$ , $u (0) = u_{0}$ ). Montrer que le schéma donne exactement $u_{n} = u_{0} (1 - \frac{h}{τ})^{n}$ . Calculer la valeur obtenue en $t = τ$ pour $h = τ /5$ , $τ /50$ , $τ /500$ , et l'erreur relative par rapport à la solution exacte. Comment l'erreur dépend-elle de $h$ ?

2) Que se passe-t-il pour $τ < h < 2 τ$ ? pour $h > 2 τ$ ? Pourquoi un pas trop grand est-il plus grave qu'une simple imprécision ?

3) Excitation quelconque. L'entrée est une rampe saturée : $e (t) = E t / θ$ pour $0 \leq t \leq θ$ , puis $e = E$ , avec $E = 5, 0 V$ , $τ = 1, 0 ms$ , $θ = 5 τ$ ; $u (0) = 0$ . Écrire un script Python qui simule $u$ par la méthode d'Euler, et le compare à la solution exacte (donnée) $u (t) = \frac{E}{θ} (t - τ + τ e^{- t / τ})$ pour $t \leq θ$ . Donner $u (θ)$ et l'erreur maximale pour $h = τ /10$ , $τ /100$ , $τ /1000$ .

4) Montrer qu'en régime établi pendant la rampe, $u$ suit l'entrée avec un retard constant, et le calculer. Interpréter.

Corrigé

La stratégie. Avant de faire confiance à un schéma numérique, on le teste sur un cas dont on connaît la solution exacte. Le régime libre est ce cas : le schéma d'Euler s'y résout à la main, et l'on voit d'un coup sa précision et sa limite de stabilité. Ensuite seulement, on l'utilise là où il est utile : une excitation qui n'est pas un échelon.

1) Le schéma résolu. Avec $e = 0$ : $u_{n + 1} = u_{n} - \frac{h}{τ} u_{n} = (1 - \frac{h}{τ}) u_{n}$ . La suite est géométrique : $u_{n} = u_{0} (1 - \frac{h}{τ})^{n}$ . En $t = τ$ , $n = τ / h$ :

pas $h$	$u (τ) / u_{0}$ par Euler	exact $e^{- 1} = 0, 3679$ : erreur relative
$τ /5$	$0, 8^{5} = 0, 3277$	$- 10, 9 %$
$τ /50$	$0, 9 8^{50} = 0, 3642$	$- 1, 0 %$
$τ /500$	$0, 99 8^{500} = 0, 3675$	$- 0, 1 %$

Diviser le pas par $10$ divise l'erreur par $10$ : l'erreur de la méthode d'Euler est proportionnelle au pas. (On le voit sur le développement $ln (1 - x) = - x - \frac{x ^{2}}{2} - \dots$ : $(1 - \frac{h}{τ})^{τ / h} = exp (- 1 - \frac{h}{2 τ} - \dots) \approx e^{- 1} (1 - \frac{h}{2 τ})$ , d'où une erreur relative $\approx - h / (2 τ)$ , soit $- 10 %$ , $- 1 %$ , $- 0, 1 %$ .) Le schéma est toujours en dessous en décharge : il utilise la pente au début du pas, plus raide que la pente moyenne.

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Gratuit : il suffit de créer un compte (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe), et tu arrives directement sur le corrigé.

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.