La minuterie d'escalier

Exercice · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 3 — Le circuit linéaire du premier ordre

Énoncé

Une minuterie éteint la lumière quand la tension d'un condensateur, en décharge dans une résistance, passe sous un seuil. On veut une durée d'éclairage d'environ $3 min$ avec $C = 100 μ F$ .

La décharge suit $u (t) = u_{0} e^{- t / τ}$ . Si le seuil d'extinction est à $u_{0} / e$ (soit après une constante de temps), quelle valeur de $τ$ faut-il ?

En déduire la résistance $R$ .

Comment régler une durée plus longue sans changer $C$ ?

Corrigé

1. Extinction à $u_{0} / e$ correspond à $t = τ$ : il faut $τ = 180 s$ .

2. $τ = R C \Rightarrow R = \frac{τ}{C} = \frac{180}{100 \times 1 0 ^{- 6}} = 1.8 \times 1 0^{6} Ω = 1.8 M Ω$ .

3. On augmente $R$ (ou $C$ ) : $τ = R C$ croît, la décharge est plus lente, l'éclairage dure plus longtemps.

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