Le circuit RC sous créneau : le régime périodique établi

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 3 — Le circuit linéaire du premier ordre · C. Réponse à un échelon

Énoncé

Un circuit RC série, de constante de temps $τ = R C = 1, 0 ms$ , est alimenté par un créneau $e (t)$ de période $T$ , égal à $E$ pendant la première moitié de chaque période et à $0$ pendant la seconde. On étudie la tension $u$ du condensateur, nulle à $t = 0$ .

1) Sur chaque demi-période, quelle équation $u$ vérifie-t-elle ? Comment raccorde-t-on deux demi-périodes successives ?

2) On admet qu'au bout d'un certain temps, $u$ devient périodique de période $T$ , oscillant entre $U_{m i n}$ et $U_{m a x}$ . On pose $a = e^{- T / (2 τ)}$ . Montrer que $U_{m a x} = \frac{E}{1 + a}$ et $U_{m i n} = \frac{a E}{1 + a}$ .

3) En déduire l'ondulation $Δ U = U_{m a x} - U_{m i n}$ et l'écrire à l'aide de la fonction tangente hyperbolique (notée $tanh$ ).

4) Calculer $U_{m a x}$ et $U_{m i n}$ pour $f = 100 Hz$ puis pour $f = 10 kHz$ . Interpréter les deux cas limites $T ≫ τ$ et $T ≪ τ$ ; que vaut la pente de $u$ dans le second ?

5) Montrer, sans calcul, que la valeur moyenne de $u$ en régime établi est égale à celle de $e$ .

6) Combien de périodes faut-il, à $10 kHz$ , pour atteindre ce régime établi à $1 %$ près ?

Corrigé

La stratégie. Un créneau est une succession d'échelons. Sur chaque palier, on connaît la solution ; aux instants de commutation, $u$ est continue, et la valeur finale d'un palier devient la valeur initiale du suivant. Pour le régime établi, on n'a pas besoin de suivre toute l'histoire : on écrit qu'après une période, $u$ revient à sa valeur de départ — c'est une condition d'auto-cohérence.

1) Les paliers et le raccord. Sur un palier haut, $τ u ˙ + u = E$ : $u$ tend vers $E$ . Sur un palier bas, $τ u ˙ + u = 0$ : $u$ tend vers $0$ . À chaque commutation, $e$ saute mais $u$ est continue ; c'est le courant $i = (e - u) / R$ qui saute.

2) L'auto-cohérence. En régime établi, chaque palier haut part de $U_{m i n}$ et dure $T /2$ : $U_{m a x} = E + (U_{m i n} - E) a .$ Chaque palier bas part de $U_{m a x}$ et dure $T /2$ : $U_{m i n} = U_{m a x} a$ . En reportant : $U_{m a x} = E (1 - a) + a^{2} U_{m a x} ⟹ U_{m a x} = \frac{E ( 1 - a )}{1 - a ^{2}} = \frac{E}{1 + a}, U_{m i n} = \frac{a E}{1 + a} .$

3) L'ondulation. $Δ U = \frac{( 1 - a ) E}{1 + a} = E \frac{1 - e ^{- T /2 τ}}{1 + e ^{- T /2 τ}} = E tanh \frac{T}{4 τ},$ en multipliant numérateur et dénominateur par $e^{T /4 τ}$ et en reconnaissant $tanh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}$ (tangente hyperbolique).

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