Mesurer une constante de temps sur un relevé

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 3 — Le circuit linéaire du premier ordre · C. Réponse à un échelon

Énoncé

Un générateur basse fréquence (GBF) délivre un créneau entre $0$ et $5, 00 V$ , de période longue devant la constante de temps. Il alimente un circuit RC série de valeurs nominales $R = 1, 00 kΩ$ et $C = 100 nF$ ; on relève la tension $u$ du condensateur pendant une phase de décharge (le GBF délivre alors $0 V$ ), l'origine des temps étant prise au front descendant :

$t$ ( $μ$ s)	0	25	50	75	100	150	200
$u$ (V)	5,00	3,94	3,11	2,45	1,93	1,20	0,74

1) Rappeler trois méthodes de lecture de $τ$ sur une courbe de décharge. Appliquer la méthode « à $37 %$ ».

2) Montrer que $ln u$ est une fonction affine de $t$ . Tracer (ou calculer) $ln u$ et en déduire $τ$ par une régression linéaire. Pourquoi cette méthode est-elle plus sûre que les deux autres ?

3) La valeur obtenue diffère de $R C = 100 μ s$ . Le GBF a une résistance de sortie $R_{s} = 50 Ω$ . Expliquer l'écart.

4) Quelle valeur minimale de $R$ faut-il choisir, à $C$ donné, pour que $R_{s}$ fausse la mesure de moins de $1 %$ ?

5) Au bout de combien de temps le condensateur a-t-il perdu $90 %$ de sa charge ? Le vérifier sur le relevé.

Corrigé

La stratégie. Une mesure de $τ$ ne vaut que par sa robustesse : une lecture en un seul point est sensible à l'erreur sur ce point et ne dit rien de la forme de la courbe. La linéarisation, elle, teste le modèle (la courbe est-elle une exponentielle ?) en même temps qu'elle mesure le paramètre.

1) Trois lectures. En décharge, $u (t) = u_{0} e^{- t / τ}$ .

La tangente à l'origine. Sa pente est $- u_{0} / τ$ ; elle coupe l'asymptote $u = 0$ en $t = τ$ . Méthode rapide, mais tracer une tangente à la main est imprécis.
Le point à $37 %$ . $u (τ) = u_{0} e^{- 1} = 0, 368 u_{0}$ . Ici $0, 368 \times 5, 00 = 1, 84 V$ ; par interpolation entre $(100 μ s; 1, 93 V)$ et $(150 μ s; 1, 20 V)$ , on obtient $τ \approx 105 μ s$ . Méthode précise sur un point, mais elle repose entièrement sur ce point et sur la valeur de $u_{0}$ .
La linéarisation. Objet de la question suivante.

2) La droite. En prenant le logarithme : $ln u = ln u_{0} - \frac{t}{τ}$ , fonction affine de $t$ de pente $- 1/ τ$ . Les valeurs de $ln u$ sont :

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.