Problème — La charge adiabatique d'un condensateur

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 3 — Le circuit linéaire du premier ordre · D. Bilan d'énergie

Énoncé

Un condensateur $C$ , initialement déchargé, est chargé à travers une résistance $R$ par une source de tension $e (t)$ qui passe de $0$ à $E$ ; on note $τ = R C$ , $u$ la tension du condensateur et $i$ le courant de charge. On veut comparer l'énergie $W_{J}$ dissipée par effet Joule selon la manière dont $e$ passe de $0$ à $E$ .

1) L'échelon. $e$ passe de $0$ à $E$ en $t = 0$ . Calculer l'énergie fournie par la source, puis directement $W_{J} = \int_{0}^{\infty} R i^{2} d t$ . Expliquer pourquoi le résultat ne dépend pas de $R$ .

2) La charge en $N$ paliers. $e$ monte en $N$ marches de hauteur $E / N$ , chaque marche durant assez longtemps ( $≫ τ$ ) pour que le condensateur soit chargé avant la suivante. Calculer l'énergie dissipée à chaque marche, l'énergie dissipée totale et le rendement $η_{N}$ de la charge (énergie stockée sur énergie fournie). Application pour $N = 1$ , $2$ , $10$ , $100$ . Quelle est la durée totale de la charge ?

3) La rampe. $e (t) = E t / T$ pour $0 \leq t \leq T$ , puis $e = E$ . Montrer que, pour $τ ≪ t \leq T$ , le courant devient constant et vaut $C E / T$ (on pourra s'appuyer sur la rampe de l'exercice 6). En déduire que, pour $T ≫ τ$ , $W_{J} \approx C E^{2} \frac{τ}{T}$ . On donne le résultat exact : $W_{J} = C E^{2} \frac{τ}{T} [1 - \frac{τ}{T} (1 - e^{- T / τ})] .$ Le vérifier par une simulation d'Euler pour $T = τ$ , $10 τ$ , $100 τ$ .

4) Cas limites et interprétation. Que donne la formule exacte pour $T \to 0$ ? pour $T = τ$ ? pour $T = 100 τ$ ? Vérifier son homogénéité. Comparer, pour la charge en paliers et pour la rampe, le produit de l'énergie perdue par la durée de la charge. Conclure.

5) Ordre de grandeur. Dans un processeur, chaque porte logique charge une capacité $C \sim 1 fF$ sous $E \sim 1 V$ , à travers la résistance d'un transistor. On compte $1 0^{9}$ portes, une horloge de $1 GHz$ , et un taux d'activité de $0, 1$ (à chaque cycle, une porte sur dix est chargée). Estimer la puissance dissipée. Que gagnerait-on avec une charge en rampe de durée $T = 10 τ$ ?

6) Ce que font les chargeurs. Un chargeur dit « à découpage » charge un condensateur à partir d'une source $E$ en intercalant une bobine et des interrupteurs. Sans calcul, expliquer pourquoi il peut dépasser le rendement de $50 %$ , en le reliant aux questions 2) et 3).

Corrigé

La stratégie. Le « paradoxe de la moitié » vient de ce qu'on impose brutalement une grande différence de tension $e - u$ aux bornes de la résistance. Toute la suite consiste à ne jamais imposer de grande différence de tension, en faisant suivre à la source la tension du condensateur — d'abord par marches, puis continûment.

1) L'échelon. La source fournit $W_{source} = \int_{0}^{\infty} E i d t = E q_{finale} = E \cdot C E = C E^{2}$ . Le courant vaut $i = \frac{E}{R} e^{- t / τ}$ (continuité de $u$ , puis décroissance exponentielle), donc $W_{J} = \int_{0}^{\infty} R \frac{E ^{2}}{R ^{2}} e^{- 2 t / τ} d t = \frac{E ^{2}}{R} \cdot \frac{τ}{2} = \frac{1}{2} C E^{2} .$ Le condensateur stocke $\frac{1}{2} C E^{2}$ , la résistance dissipe $\frac{1}{2} C E^{2}$ : rendement $50 %$ . Pourquoi $R$ n'intervient pas : changer $R$ en $λ R$ multiplie le courant par $1/ λ$ et la durée par $λ$ ; la puissance $R i^{2}$ est multipliée par $1/ λ$ , l'intégrale par $λ \times 1/ λ = 1$ . $R$ ne fixe que l'échelle des temps, pas l'énergie.

2) Les paliers. La $k$ -ième marche fait passer la source de $(k - 1) E / N$ à $k E / N$ , le condensateur partant de $(k - 1) E / N$ : c'est un échelon de hauteur $E / N$ à partir d'un condensateur déjà chargé. La source, à la tension $k E / N$ , débite la charge $C E / N$ et fournit $\frac{k E}{N} \cdot \frac{C E}{N}$ ; l'énergie stockée augmente de $\frac{1}{2} C [(\frac{k E}{N})^{2} - (\frac{( k - 1 ) E}{N})^{2}] = \frac{1}{2} C \frac{E ^{2}}{N ^{2}} (2 k - 1)$ . La différence est l'énergie dissipée : $W_{J, k} = \frac{C E ^{2}}{N ^{2}} [k - \frac{2 k - 1}{2}] = \frac{1}{2} C (\frac{E}{N})^{2} .$ Chaque marche coûte $\frac{1}{2} C Δ U^{2}$ , où $Δ U$ est sa hauteur — c'est le résultat du 1), appliqué à l'écart $Δ U$ . Au total : $W_{J} = N \times \frac{1}{2} C \frac{E ^{2}}{N ^{2}} = \frac{C E ^{2}}{2 N}, η_{N} = \frac{\frac{1}{2} C E ^{2}}{\frac{1}{2} C E ^{2} + \frac{C E ^{2}}{2 N}} = \frac{N}{N + 1} .$

$N$	1	2	10	100
$η_{N}$	$0, 50$	$0, 67$	$0, 91$	$0, 99$

Mais chaque marche doit durer $\approx 5 τ$ : la charge dure $\approx 5 N τ$ . On gagne en rendement ce qu'on perd en temps.

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