Accorder et sélectionner une station

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 5 — Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance · C. Résonance du circuit RLC série

Énoncé

Un récepteur radio en modulation d'amplitude capte la bande des petites ondes, de $531 kHz$ à $1602 kHz$ , où les fréquences porteuses des stations sont espacées de $9 kHz$ . Chaque station occupe une bande de $\pm 4, 5 kHz$ autour de sa porteuse : c'est là que se trouve le son. Le circuit d'antenne est modélisé par un RLC série excité par la force électromotrice induite dans l'antenne ; le rapport de l'amplitude du courant à sa valeur maximale vaut $A (f) = \frac{1}{1 + Q ^{2} ( x - \frac{1}{x} ) ^{2}}, x = \frac{f}{f _{0}} .$

1) La bobine a pour inductance $L = 200 μ H$ . Quelle plage de capacités le condensateur variable doit-il couvrir ? Pourquoi le rapport des capacités extrêmes est-il le carré du rapport des fréquences extrêmes ?

2) Un raisonnement rapide dit : « pour séparer deux stations à $1000 kHz$ et $1050 kHz$ , il suffit que la bande passante soit plus étroite que l'écart, $Δ f < 50 kHz$ , soit $Q > 20$ . » Calculer $A$ pour la station à $1050 kHz$ quand $Q = 20$ et le circuit est accordé sur $1000 kHz$ . Conclure.

3) Le circuit est accordé sur $1000 kHz$ ; la station voisine est à $1009 kHz$ . Montrer que, pour un écart $δ f ≪ f_{0}$ , $x - \frac{1}{x} ≃ \frac{2 δ f}{f _{0}}$ . Quel facteur de qualité faut-il pour ramener la voisine au dixième ? Que deviennent alors les composantes du son situées à $\pm 4, 5 kHz$ de la porteuse ?

4) Quel facteur de qualité maximal permet de garder ces composantes à au moins $1/ 2$ ? Que vaut alors $A$ pour la voisine ?

5) Conclure.

Corrigé

La stratégie. Deux exigences s'opposent : rejeter les voisines (sélectivité, grand $Q$ ) et garder tout le son de la station (fidélité, bande passante assez large). On les chiffre séparément, avec la vraie courbe de résonance et pas avec le seul critère de la bande passante.

1) L'accord. $f_{0} = \frac{1}{2 π L C}$ donne $C = \frac{1}{4 π ^{2} f _{0}^{2} L}$ : $449 pF$ à $531 kHz$ et $49 pF$ à $1602 kHz$ . Comme $C \propto 1/ f_{0}^{2}$ , le rapport des capacités, $9, 1$ , est le carré du rapport des fréquences, $3, 02$ . C'est l'ordre de grandeur des condensateurs variables à lames des postes anciens.

2) Le critère trompeur. Avec $x = 1, 05$ , $x - \frac{1}{x} = 0, 0976$ , et $Q (x - \frac{1}{x}) = 1, 95$ , d'où $A = \frac{1}{1 + 1 , 9 5 ^{2}} = 0, 46.$ La station indésirable passe avec près de la moitié de son amplitude. La bande passante, définie à $1/ 2$ , mesure une largeur, pas une réjection : un écart égal à la bande passante n'atténue que d'un facteur deux. Il faudrait $Q \approx 100$ pour ramener la station à $1050 kHz$ au dixième.

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