Compenser une charge inductive

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 5 — Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance · B. Les impédances complexes

Énoncé

Un atelier est alimenté sous la tension $u (t) = U_{m} cos (ω t)$ , $U_{m} = 325 V$ , $f = 50 Hz$ (le « $230 V$ » du secteur est la valeur efficace $U_{m} / 2$ ). Sa charge, des moteurs, est modélisée par une résistance $R = 10, 0 Ω$ en série avec une inductance $L = 50, 0 mH$ . La ligne qui l'alimente a une résistance faible mais non nulle : les pertes par effet Joule y sont proportionnelles à $I_{m}^{2}$ , carré de l'amplitude du courant de ligne.

1) Calculer l'impédance de la charge (module et argument), l'amplitude $I_{m}$ du courant de ligne et son déphasage par rapport à $u$ .

2) On branche un condensateur de capacité $C$ en parallèle sur la charge : ses deux bornes sont reliées aux deux bornes de la charge, si bien que la tension $u$ s'applique aux deux, et le courant de ligne se partage au nœud d'entrée entre la charge et le condensateur. Pourquoi est-il commode de raisonner sur les admittances $Y = 1/ Z$ ? Écrire l'admittance de l'ensemble.

3) Déterminer $C$ pour que le courant de ligne soit en phase avec $u$ . Montrer que $C = \frac{L}{R ^{2} + L ^{2} ω ^{2}}$ , vérifier l'homogénéité et calculer $C$ .

4) Calculer alors l'amplitude du courant de ligne, celle du courant dans la charge et celle du courant dans le condensateur. Comment la loi des nœuds peut-elle donner un courant de ligne plus petit que celui de la charge ? Décrire le diagramme de Fresnel des courants.

5) De quel facteur les pertes Joule dans la ligne ont-elles été réduites ? Le fonctionnement des moteurs a-t-il changé ? Que se passerait-il avec un condensateur deux fois trop gros ?

Corrigé

La stratégie. En parallèle, la tension est commune et les courants s'ajoutent : c'est la configuration où l'on additionne les admittances. On cherche le condensateur qui annule la partie imaginaire de l'admittance totale, puis on regarde ce que cela change pour la ligne et pour la charge.

1) La charge seule. $L ω = 0, 0500 \times 100 π = 15, 7 Ω$ , donc $Z = R + j L ω = 10, 0 + 15, 7 j, ∣ Z ∣ = 18, 6 Ω, ar g Z = arctan \frac{15 , 7}{10 , 0} = 57, 5^{\circ} .$ L'amplitude du courant est $I_{m} = U_{m} /∣ Z ∣ = 325/18, 6 = 17, 5 A$ , et le courant est en retard de $57, 5^{\circ}$ sur la tension : la charge est inductive.

2) Les admittances. La tension $U$ étant la même aux bornes des deux dipôles, la loi des nœuds donne $I_{ligne} = I_{charge} + I_{C} = (Y_{charge} + Y_{C}) U$ : les admittances en parallèle s'additionnent, comme les impédances en série. Ici $Y = \frac{1}{R + j L ω} + j C ω = \frac{R}{R ^{2} + L ^{2} ω ^{2}} + j (C ω - \frac{L ω}{R ^{2} + L ^{2} ω ^{2}}),$ après avoir multiplié la première fraction par la quantité conjuguée $R - j L ω$ .

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