Du transitoire au régime forcé : un RC sous tension sinusoïdale

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 5 — Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance · A. Représentation complexe

Énoncé

Un générateur idéal de tension, de force électromotrice $e (t) = E_{m} cos (ω t)$ , est branché à l'instant $t = 0$ (fermeture d'un interrupteur) sur l'association en série d'une résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$ , initialement déchargé. Le circuit est une seule maille : la source, puis la résistance, puis le condensateur, puis retour à la source. On oriente le courant $i$ dans la maille dans le sens où la force électromotrice le ferait circuler (convention générateur pour la source) ; la tension $u_{C}$ aux bornes du condensateur et la tension $u_{R} = R i$ aux bornes de la résistance sont fléchées en convention récepteur. On pose $τ = R C$ . Données : $R = 1, 0 kΩ$ , $C = 100 nF$ , $E_{m} = 5, 0 V$ , $f = 1, 0 kHz$ .

1) Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_{C} (t)$ pour $t > 0$ .

2) On cherche une solution particulière de la forme $u_{C} (t) = U_{C m} cos (ω t + φ)$ . À l'aide de la représentation complexe, déterminer $U_{C m}$ et $φ$ . Vérifier le résultat en revenant aux grandeurs réelles, sans nombre complexe.

3) Calculer $ω τ$ , $U_{C m}$ , $φ$ , ainsi que l'amplitude $I_{m}$ du courant et son déphasage par rapport à $e$ .

4) Écrire la solution complète $u_{C} (t)$ et déterminer sa constante. Au bout de combien de temps le terme transitoire devient-il inférieur à $1 %$ de $U_{C m}$ ? Comparer à la période.

5) Que deviennent $U_{C m}$ et $φ$ dans les limites $ω τ ≪ 1$ et $ω τ ≫ 1$ ? Interpréter chaque limite à l'aide du comportement du condensateur, sans calcul.

Corrigé

La stratégie. L'équation est linéaire, à coefficients constants, avec un second membre sinusoïdal. Sa solution générale est la somme de la solution générale de l'équation homogène (le transitoire) et d'une solution particulière (le régime forcé). La représentation complexe fournit la seconde sans aucun calcul de dérivée ; la condition initiale fixe la constante du premier.

1) L'équation. La loi des mailles donne $e = u_{R} + u_{C} = R i + u_{C}$ , et la relation du condensateur en convention récepteur est $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ . D'où $τ \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = E_{m} cos (ω t), τ = R C .$ Homogénéité : $R C$ est bien un temps (des ohms fois des farads donnent des secondes), et chaque terme est une tension.

2) La solution particulière par la représentation complexe. On associe à $u_{C}$ la grandeur complexe $u_{C} (t) = U_{C} e^{j ω t}$ , avec $U_{C} = U_{C m} e^{j φ}$ , et à $e$ la grandeur $E_{m} e^{j ω t}$ . L'équation étant linéaire et à coefficients réels, si la grandeur complexe la vérifie, sa partie réelle la vérifie aussi. La dérivation devient une multiplication par $j ω$ : $(1 + j ω τ) U_{C} = E_{m} donc U_{C} = \frac{E _{m}}{1 + j ω τ} .$ On lit le module et l'argument : $U_{C m} = \frac{E _{m}}{1 + ω ^{2} τ ^{2}}, φ = - arctan (ω τ) .$ L'argument est bien donné par l'arc tangente sans ajout de $π$ , parce que la partie réelle du dénominateur, $1$ , est positive : $φ$ est compris entre $- π /2$ et $0$ . La tension du condensateur est en retard sur celle de la source.

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