La méthode des trois voltmètres

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 5 — Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance · A. Représentation complexe

Énoncé

On veut caractériser une bobine réelle, modélisée par une résistance $r$ en série avec une inductance $L$ . On la place en série avec une résistance étalon $R = 100, 0 Ω$ , et l'on alimente l'ensemble par un générateur sinusoïdal : la maille comprend le générateur, la résistance étalon, puis la bobine. À l'oscilloscope, on ne relève que trois amplitudes : $E$ aux bornes de l'ensemble (résistance et bobine), $U_{R}$ aux bornes de la résistance, $U_{B}$ aux bornes de la bobine. Toutes les tensions sont fléchées en convention récepteur pour le même courant $i$ .

1) Représenter dans le plan de Fresnel les vecteurs $U_{R}$ , $U_{B}$ et $E$ , en prenant le courant pour origine des phases. Quel angle $θ$ fait $U_{B}$ avec $I$ ? Que vaut $tan θ$ ?

2) Montrer que $cos θ = \frac{E ^{2} - U _{R}^{2} - U _{B}^{2}}{2 U _{R} U _{B}}$ . En déduire $r$ et $L$ en fonction des trois amplitudes, de $R$ et de $ω$ .

3) À $f = 500 Hz$ , on lit $E = 10, 0 V$ , $U_{R} = 3, 00 V$ , $U_{B} = 9, 43 V$ . Calculer l'amplitude $I$ du courant, $r$ et $L$ .

4) L'appareil lit $U_{B}$ à $\pm 0, 01 V$ près. Recalculer $r$ avec $U_{B} = 9, 42 V$ puis $9, 44 V$ . Même question pour $L$ . Conclure.

5) À $f = 50 Hz$ , on lit $E = 10, 0 V$ , $U_{R} = 8, 60 V$ , $U_{B} = 2, 89 V$ . Recalculer $r$ et $L$ , puis la sensibilité de $r$ à $\pm 0, 01 V$ sur $U_{B}$ . Quelle fréquence choisir pour mesurer $r$ ? pour mesurer $L$ ? Expliquer à l'aide de la forme du triangle de Fresnel.

6) Pourquoi l'étalon est-il une résistance ? Quelle autre méthode, plus simple, donne $r$ ?

Corrigé

La stratégie. Trois amplitudes ne contiennent aucune phase. Mais la loi des mailles en complexe, $E = U_{R} + U_{B}$ , dit que les trois vecteurs forment un triangle ; ses trois côtés étant connus, ses angles le sont aussi, par le théorème d'Al-Kashi. La phase se reconstruit par la géométrie.

1) Le diagramme. Le courant est commun aux deux dipôles en série : on le prend pour origine des phases, $I = I$ réel positif. La résistance donne $U_{R} = R I$ , vecteur horizontal, dans la direction du courant. La bobine donne $U_{B} = (r + j L ω) I$ : ce vecteur a une composante $r I$ le long du courant et une composante $L ω I$ perpendiculaire, vers le haut. Il fait avec $I$ l'angle $θ$ tel que $tan θ = \frac{L ω}{r}, 0 < θ < \frac{π}{2} .$ Le vecteur $E$ est la somme : on place $U_{R}$ depuis l'origine, puis $U_{B}$ à partir de son extrémité, et $E$ ferme le triangle.

2) Al-Kashi. On développe le carré du module d'une somme : $E^{2} = ∣ U_{R} + U_{B} ∣^{2} = U_{R}^{2} + U_{B}^{2} + 2 U_{R} U_{B} cos θ,$ puisque $θ$ est l'angle entre les deux vecteurs. D'où la formule annoncée. Ensuite, $I = U_{R} / R$ ; le module de l'impédance de la bobine est $Z_{B} = U_{B} / I = R U_{B} / U_{R}$ , et ses parties réelle et imaginaire donnent $r = Z_{B} cos θ, L = \frac{Z _{B} sin θ}{ω} .$

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.