électricité (MPSI) · Chapitre 5 · Application directe du cours

La recharge sans fil par résonance

Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance · niveau 2

Énoncé

Un chargeur sans fil (norme Qi) comporte une bobine émettrice parcourue par un courant sinusoïdal $i_{1} (t)$ d'amplitude $I_{1} = 1, 0 A$ et de fréquence $f_{0} = 150 k Hz$ . On admet (c'est l'objet du chapitre sur l'induction) que ce courant fait apparaître dans la bobine réceptrice du téléphone une force électromotrice $e_{2} = - M \frac{d i _{1}}{d t}$ , où $M = 3, 0 μ H$ , l'inductance mutuelle, dépend de la position relative des deux bobines. Le circuit récepteur est un RLC série : bobine $L_{2} = 10 μ H$ , condensateur $C_{2}$ et résistance totale $R_{2} = 1, 0 Ω$ , charge comprise.

Exprimer l'amplitude complexe $E_{2}$ en fonction de $I_{1}$ et calculer son amplitude.
Quelle capacité $C_{2}$ accorde le récepteur sur $f_{0}$ ? Calculer alors l'amplitude $I_{2}$ du courant reçu et la comparer à celle qu'on obtiendrait sans condensateur.
Que se passe-t-il si le téléphone est mal posé : récepteur désaccordé de $5 %$ , ou bobines plus éloignées ( $M$ divisé par deux) ?
Pourquoi travailler à des centaines de kilohertz, et pas en continu ?

Corrigé de la question 1

1. La dérivation devient une multiplication par $j ω$ : $E_{2} = - j M ω I_{1}$ , d'amplitude $E_{2} = M ω I_{1} = 3, 0 \times 1 0^{- 6} \times 2 π \times 1, 5 \times 1 0^{5} \times 1, 0 = 2, 8 V$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. Quelle capacité $C_{2}$ accorde le récepteur sur $f_{0}$ ? Calculer alors l'amplitude $I_{2}$ du courant reçu et la comparer à celle qu'on obtiendrait sans condensateur.

Élève

Pour l'accord, j'annule la réactance du RLC série et j'en tire $C_{2}$ . Mais pour la comparaison, je pensais que retirer le condensateur, qui bloque le courant continu, ne pouvait qu'augmenter $I_{2}$ .

En régime sinusoïdal, un condensateur ne bloque pas le courant : il a une réactance négative. À l'accord, que vaut la somme des réactances de la bobine et du condensateur, et sans condensateur, la réactance de la bobine est-elle encore compensée ?

Élève

À l'accord, les deux réactances se compensent exactement. Sans condensateur, il reste la réactance $L_{2} ω_{0}$ de la bobine en série avec $R_{2}$ .

Compare $L_{2} ω_{0}$ à $R_{2}$ avec les valeurs de l'énoncé : quel rapport obtiens-tu entre les deux courants, et à quelle grandeur caractéristique du récepteur peux-tu le relier ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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