La sonde d'oscilloscope compensée

L'entrée d'un oscilloscope équivaut à une résistance $R_2=1,0\mathrm{M\Omega }$ en parallèle avec une capacité $C_2=20\mathrm{pF}$ (câble compris), entre la borne d'entrée et la masse. Une sonde « $\times 10$ » intercale, entre le point mesuré et cette entrée, une résistance $R_1=9,0\mathrm{M\Omega }$ en parallèle avec un condensateur ajustable $C_1$. La tension mesurée $u_e$ est donc appliquée à deux dipôles en série : le dipôle $(R_1\parallel C_1)$ de la sonde, puis le dipôle $(R_2\parallel C_2)$ de l'oscilloscope, aux bornes duquel l'appareil lit $u_{\text{osc}}$.

1) Sans calcul, en considérant les condensateurs comme des coupures puis comme des fils, donner le rapport $\underline{H}={\underline{U}}_{\text{osc}}/{\underline{U}}_e$ en très basse puis en très haute fréquence.

2) Établir $\underline{H}$ en fonction des impédances ${\underline{Z}}_k=\frac{R_k}{1+j{R}_k{C}_k\omega }$. Montrer que $\underline{H}$ est indépendant de la fréquence si et seulement si $R_1{C}_1=R_2{C}_2$. Calculer $C_1$.

3) On envoie un signal créneau. Décrire l'allure observée lorsque $C_1$ est trop faible ($1,5\mathrm{pF}$) puis trop forte ($3,0\mathrm{pF}$), en raisonnant sur les fronts (haute fréquence) et les paliers (basse fréquence).

4) On observe la tension de sortie d'un montage de résistance de sortie $R_s=10\mathrm{k\Omega }$ (générateur de Thévenin). Sans sonde, l'entrée de l'oscilloscope forme avec $R_s$ un passe-bas : estimer sa fréquence de coupure. Avec la sonde compensée, quelle impédance le montage voit-il ? Nouvelle fréquence de coupure ? Conclure.